Surface réglée à directrices rectilignes quel conques
/'. — Prenons pt)ur directrices trois tlroites quelconques A, 13, C. Par A menons un plan parallèle à C; il coupe B en D. Par B,
menons un plan parallèle à A; il coupe G en E. Enfin, par C, menons un plan parallèle à B; il coupe A en F.
Achevons le parallélipipède. Par son centre 0, menons trois droites parallèles à A, B, G; elles nous serviront d'axes obliques. Les équations des trois droites sont :
A y=zh^ B z = c, G x = — a,
z:= — C ; ic = cl ; y ^^^^^ — b.
'2''. — Gherchons Féquation d'une droite qui s'appuie sur A, B, G.
Fig. 285.
Sa projection sur xOz doit passer par la trace (S sur ce plan de la droite B; donc l'équation de cette projection est de la forme :
où A est un paramètre à déterminer.
Sa projection sur yOz doit passer par la trace a sur ce plan de la droite A ; donc l'équation de cette projection est de la forme :
où |x est un paramètre à déterminer.
Eniin sa projection sur xOij doit passer par la trace v sur ce plan de la droite G ; donc l'équation de cette projection est la forme :
x + a = ,{;, + Ij) ■ (3)
Remplaçons dans (3) x et y par leurs valeurs tirées de (1) et de (2) ; nous obtenons une équation en z qui doit être identiquement vérifiée. D'où les conditions :
2 ci — Àc — 2/>v — V ;xc = 0 , A = -jj-v ;
ou encore : a — Xc — />v = 0.
Substituons à a et v leurs valeurs tirées de (1) et de (3) ; il vient :
azy — cxy — Lzx -j- ahc := 0 .
C'est une surface centrée^ puisque rien n'est modifié dans 1 étjualion quand on change x, ?/, :;, en — x, — ?/, — z. Le degré ne change pas si on la rapporte à des axes rectangulaires (§ 318, i^**). Ce n'est pas un cône : (h)nc c'est un hyper holoïde à une nappe.
,f'. — II résulte de là (jue trois droites quelconques font partie de l'un des systèmes de génératrices rectilignes d'un hyperholoïde qui par là même se trouve déterminé.
452. Hélicoïdes; hélicoïdes réglés généraux; vis, hélices de propulsion.
/". — Hélicoïdes.
\J héllcoïde est la surface engendrée par une courbe génératrice qui tourne autour d'un axe d'un mouvement uniforme et simultanément
B I n " B "1 B IV B V
Fig. 286.
se déplace parallèlement à lui avec une vitesse constante. L'enveloppe d'une surface invariable dont tous les points décrivent des hélices coaxiales et de même pas, est un hélicoïde (par exemple, le serpentin, î;; 39S) : la Ccircic^e>i5//yue évidemment invariable peut être choisie comme génératrice.
La section d'un hélicoïde par un cylindre circulaire coaxial est une hélice.
t^". — Hélicoïdes réglés oÉNÉRArx.
Si la génératrice est une droite (ne passant généralement pas par l'axe), 1 hélicoïde est réglé. \^ hélice de gorge est le lieu du pied de la perpendiculaire commune à l'axe et à la génératrice. De toutes les hélices de même pas décrites par les points de la génératrice, c'est elle dont les tangentes font le plus grand angle 6 avec le plan P normal à l'axe.
Si la génératrice (dont l'angle avec le plan P est ^) est tangente à l'hélice de gorge (tracée sur un cylindre de rayon r), l' hélicoïde est développable (,^ 412) ; on a : vJ/ = 0, II = 27:r . tg -i^ , où H est le pas.
SURFACES REGLEES NON DEVELOPPABLES 535
Si la génératrice passe par l'axe et lui est normale (0 = 0), Thélicoïde est un conoïde droit (§ 439).
On démontrera que r hélice de gorge est la ligne de striction^ le paramètre de distribution est :
TT
On retrouve bien ^ == 0 , pour la surface développable ; y==H ; 2::, pour le conoïde. Pour Hr=r=0, Thélicoïde dégénère en hyperboloïde de révolution; le paramètre de distribution est r tg ^J; , résultat conforme à celui du § 450. Pour >iz=^r. \2^ l'hvperboloïde lui-même dégénère en un cylindre; le paramètre devient infini (§ 433).
S\ — Vis (fig. 286). __
Imaginons une figure ABEGD , de hauteur AD = H , se déplaçant de manière que AD soit toujours sur l'axe du cylindre et que le point B décrive une hélice. La saillie BEC engendre le filet d'une vis. Les figures I, II, . . . ., V, montrent divers profils.
Si le profil contient des droites normales à Taxe de l'hélice, elles décrivent des hclicoïdes à plan directeur (J^ 439); c'est ce qui a lieu pour II et 111 qui donnent des vis à filets carrés. La figure III représente une vis double; le cylindre est entouré de deux hélices de même pas, décalées d'un demi-pas l'une par rapport à l'autre.
Si le profil contient des droites inclinées (I et IV, vis triangulaires simple et double), la surface est gauche générale. Elle est engendrée par une droite qui s'appuie sur trois directrices : Taxe de l'hélice, l'hélice , et une seconde hélice de même axe et de même pas que la première, tracée sur un cylindre de rayon plus grand. La droite BE prolongée passe par l'axe; elle s'appuie sur l'hélice et, entre autres, sur une seconde hélice décrite par le point E.
4". — Hélices de propulsion.
Au § 439, S'', nous avons dit les défauts de l'hélice propulsive ordinaire qui est un hélicoïde à plan directeur. On la remplace quelquefois par une surface réglée obtenue en prenant pour directrices une droite et deux hélices admettant cette droite pour axe : la première de rayon r et de pas H, la seconde de rayon 2r et de pas 2H.
Les deux hélices sont disposées de manière que la génératrice du milieu de l'aile soit normale à l'axe.
