Rayons de courbure des sections normales à la surface

Oïl .q)pelle sections normales les sections A()B par un plan mené

par la normale à la surface (c'est ici l'axe 0^).

Elles sont définies par l'anj^le «p (pie fait avec ().r la trace ()D du plan sécant sur le plan rO?/ (lig. 287).

Evaluons le rayon vecteur 0'A = R, de l'indicatrice ; cela revient a exprimer son écpuition en coordonnées polaires :

rcos- o

Fi g. 2H7.

-}-2«cososino-}-^sin-o).

Nous avons montré au

S 9:^, 't', (pie

du rapi)oi*t H- ; 2

normales de la

rayon de courbure p d'une courbe AOH est la limite

ar suite, les rayons de courbure p des sections

surface sont donnés p;ir la formule : 1 ; p = /• cos- o-\-2s cos o sin o -|- ^ si"* 9*

De là résultent ])lusieurs théorèmes fondamentaux connus sous le nom de théorèmes de Meusnier.

i?". — Les rayons de courbure sont respectivement maximum et mininumi pour les sections rectan<^ulaires (jui correspondent aux axes de l'indicatrice ; on les nonmie sections principales.

Si l'indicatrice est une ellipse (I, fi^. 288), les centres de courbure des sections normales sont tous du même côté de la surface. Ils sont conq)ris entre les centres Gj et Cj qui correspondent aux sections ])rincip;des. Si la conique déj-énère en cercle (ombilic), les points G, et G, sont confondus ; toutes les sections ont même centre de courbure.

Si l'indicatrice est une hyperbole (III, iv^. 288), les centres de courbure des sections normales sont de part et d'autre de la surface.

Comme le rayon vecteur R est infini pour les sections qui correspondent aux asymptotes de l'indicatrice, p est également infini : le centre de courbure est à l'infini sur la normale. Donc les centres de courbures sont tous au delà des points C^ et Ca. Ils vont de Gj à -[-GC sur la normale, quand la section est comprise dans un des angles des asymptotes; ils vont de — oc à Cg, quand la section est comprise dans l'autre angle.

Enfin quand l'indicatrice se réduit à deux droites [point parabo-

lique ; II, fig. 288), les centres de coubure, tous du même côté de la surface, sont au delà d'un point C2 qui correspond à la section normale aux deux droites. Ils occupent sur la normale toutes les positions depuis C2 jusqu'à oc. On peut assimiler l'indicatrice réduite à deux droites parallèles, aune ellipse dont un des axes devient infini, l'autre axe restant fini et à distance finie,

,f\ — Étudions la variation p quand o varie. Pour le faire commodément, r.apportons Tindicatrice à ses axes. Soit pi le maximum, P2 le minimum de p. On peut écrire :

1 cos- o sin- o

Deux sections également inclinées sur une section principale ont des rayons de courbure égaux et de même signe. On obtient, en effet, la même valeur de p pour zbo- ^e résultat tient à ce (jue la surface est assimilable à l'élément voisin d'un axe de symétrie d'une quadrique. Nous savons que par un tel axe passent deux plans rectangulaires de symétrie qui sont précisément les sections principales.

La somme des courbures de deux sections rectangulaires est constante. En effet, remplaçons o par o-{-r. ! 2. On a :

1 sin-o , cos^o -, , ^ , 1 1.1

dou: • k— r = — -4- — .

p Pi P2

Pour un point parabolique, on a :

oc,

p=r P2 : cos- (p.

Soit, par exemple, les sections normales d'un cylindre circulaire droit. Quand la section normale est une section droite (o = 0), le rayon de courbure p^ est le rayon du cercle de base. A mesure que la section normale fait un an^le plus jçrand avec la section droite, p croît; il devient infini quand o = t: I 2.