Définition des fonctions circulaires

/°. — Décrivons un cercle (fig-. 37) dont nous prendrons le rayon

GO pour unité de longueur. Je ne dis pas que le rayon a l'unité de longueur, ce qui laisserait à supposer que sa longueur est définie a priori. Sa longueur est quelconque, je la prends pour unité : la longueur de toute autre ligne sera évaluée par rapport à CO.

Par exemple, la longueur de la circonférence sera 2%^ c'est-àdire 6,2832 fois le rayon quel qu'il soit.

Prenons pour variable X la longueur de l'arc compté à partir du point 0 dans le sens de la flèche. A un point A de la circonférence correspondent une infinité d'arcs. Appelons a l'arc OA; les arcs qui se terminent au point A, ont pour expression générale :

X =z (X -\- 2kiz ^

où k est un entier quelconque positif ou négatif.

En effet, je peux aller de 0 à A et m'arrêter en A. Mais je peux dépasser A, accomplir à partir de A dans le sens positif un tour entier (/i:=l), deux tours entiers (A' = 2), ... et je me retrouverai en A. Je peux accomplir ces tours dans le sens négatif (k = — 1, k = — 2, ...). Enfin je peux partir du point 0 dans le sens négatif et m'arrêter en A ; j 'ai parcouru l'arc — (2^ — a) = a — 27u ; il cor-

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 5

Fig. 37.

6(i COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

respond à A:= — 1. On vérifiera aisément que les parcours qui m'amènent de 0 en A par un déplacement sur la circonférence, rentrent tous dans la formule :

X = 0L-\-2kT.y

à la condition qu'un parcours dans un sens annule un parcours égal dans le sens opposé.

Pour obtenir une fonction circulaire, il faut relier conventionnellement au point A, par conséquent aux arcs qui lui correspondent, une quantité définie sans ambiguïté. Nous n'avons évidemment que l'embarras du choix.

^°. — Par exemple, appelons y la distance AP du point A à un point fixe P ; // est une fonction de j- parfaitement définie et calculable, à laquelle nous pouvons donner un nom. Posons 7/ = <I>(a:). Il est évident que y est une fonction périodique de l'arc; elle reprend la même valeur quand on augmente l'arc d'un multiple quelconque positif ou négatif de 2r, puisque cette opération ne modifie pas la position du point A. La distance y est maxima pour les arcs qui se terminent en N où la droite PC coupe la circonférence, minima pour les arcs qui se terminent en M.

Une simplification évidente consiste à transporter l'origine des arcs en l'un ou l'autre de ces points, M par exemple. Les minima corresl)ondent aux arcs Ar, où k est pair; les maxima correspondent aux arcs /iz, où A- est impair.

Cette fonction y=i<\)[x), même rapportée aux origines M ou N, a un défaut. l']lle dépend de la distance GP, ou plus exactement du rapport CP ; CU que nous appellerons r. Nous devons poser : y=zih(x, r). C'est une fonction de deux variables, ou, ce qui revient au même, d'une variable r et d'un jmi\iniètrc r.

,^". — Nous pourrions considérer comme fonction de x la distance y du point A à une droite arbitraire D. On vérifiera, comme plus haut, que cette fonction est périodique , admet 2- pour période , c'està-dire reprend la même valeur quand on ajoute à la variable un multiple quelconque de 2::. On la simplifie en prenant pour origine des arcs l'un ou l'autre des points M', N', où la perpendiculaire abaissée de C sur D coupe la circonférence.

Mais cette nouvelle fonction a , comme la précédente , le défaut de dépendre du paramètre r = CS ! CO .

4". — Nous pourrions considérer des fonctions plus complexes. Menons, par exemple, la droite A; joignons l'extrémité de l'arc A au point fixe P et prolongeons. Nous définissons un point g. Nous pourrions étudier comment varie la distance 1}^ au point ^, du point quelconque Q pris sur A, quand A se déplace sur la circonférence. Mais cette fonction, même simplifiée le plus possible, dépend de plusieurs paramètres (trois, comme il est facile de le montrer .

5°. — Parmi toutes ces fonctions, nous choisirons les plus simples; c'est dire que nous donnerons au point P et aux droites D et A des positions particulières. Nous définirons ainsi des fonctions au moyen desquelles il nous sera facile de montrer que s'expriment les fonctions complexes dont nous venons de parler. Ces fonctions simples seront périodiques et admettront 2- pour période. Elles ne sont du reste , que la généralisation de celles avec lesquelles la Trigonométrie élémentaire a familiarisé le lecteur.

Sinus, cosinus.