Décomposition d'un polynôme en facteurs

Soit f[x) un polynôme de degré m qui s'annule pour x = a.

Je dis qu'on a : f[x) = [x — a)cp(a;) ,

où (p(a?) est un polynôme de degré m — 1 .

En effet, divisons f{x) par x — a. D'après les règles de la division algébrique, nous sommes assurés de trouver :

où R est un nombre. Faisons maintenant x = a; il vient :

Le reste R de la division par x — a est donc ce qu'on obtient en substituant a à x dans le polynôme. Mais par hypothèse /'(a)r=zO, puisque a est racine; donc R = 0. En définitive, si a est racine, on

a identiquement : f[x)=i(x — a)çp(:p).

Corollaire I. — Soit a, b, c, d, ... les racines réelles qu'admet le polynôme égalé à zéro. On peut le mettre sous la forme :

En effet, x — a n'admet pas b comme racine; il faut donc que (^[x) l'admette.

D'où: (p(ir)=r(ip — b)^{x), f(x)=z(x — a)[x — by^{x).

Et ainsi de suite.

Corollaire II. — Le nombre des racines réelles est égal ou inférieur au degré de l'équation, car le nombre des facteurs ne peut surpasser le nombre m.

Corollaire III. — Rien n'empêche les racines d'être multiples. On

a alors : f(^x)=^(x — a)" (x — by [x — c^y^^)-

La racine a est multiple d'ordre n, la racine b multiple d'ordre p, ... On doit avoir n-\-p-\-q <im,. Pour l'étude de la courbe au voisinage de ces points on, se reportera au § 33.

Corollaire IV. — Supposons trouvées et mises en évidence toutes les racines réelles ; le polynôme indécomposable yj^x) est de degré pair. Car son degré est :

Or ^-f-p-f-y est de même parité que m (§ 37).

41. Relations entre les coefficients d'une équation et ses racines.

:/°. — Admettons, ce que nous avons démontré possible, que toutes les racines soient réelles. Elles sont précisément au nombre de m. Nous avons identiquement, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x :

Développons et identifions les coefficients des mêmes puissances de „ dans les deux membres qui sont identiques, c'est-à-dire qui doivent avoir les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de x. Il vient :

A2=: [ab -\- bc -\- . . .] = Liàb,

A3 = — [abc -\- bcd -\- . . .) =^ — SaAc, (1)

A^=z±{abc ...p) On prend le signe -[- si m est pair, le signe — si m est impair. Enonçons les résultats en langage vulgaire. Rétablissons le coefficient Ao : la somme des racines est égale au quotient Aj \ Aq changé de signe ; la somme des produits des racines prises deux à deux est égale au quotient Aj ; Aq',... et ainsi de suite. ^°. — Appliquons à l'équation du second degré :

X* -\-px -j- r/ = 0.

Les racines a et b sont données par les formules :

«=-f+\/?^' '>=-f-vT-7 (2)

Conformément au théorème général, on a : a-\-l)-= — /), ab=:q.

42. Deux racines réelles consécutives d'un polynôme entier comprennent nécessairement un nombre impair de racines de la dérivée.

Cette proposition, connue sous le nom de théorème de Bolle , est

Fig. 35.

évidente. Car la fonction y=f(x)^ qui est continue, ne peut partir de 0 pour revenir à 0, sans passer par au moins un maximum ou un minimum. Si le nombre des maximums ou des minimums est supérieur à un, il est évidemment impair.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

Le théorème s'applique à une fonction continue quelconque dont la dérivée est elle-même continue (comparer au § 22).

Inversement y entre deux racines consécutives de la dérivée , il ne peut exister qu'une racine de la fonction : plus généralement la fonction ne passe qu'une seule fois par chacune de ses valeurs.

Corollaire. — Si l'on connaît toutes les racines réelles a', i>', c', ... de la dérivée, on peut déterminer le nombre exact des racines réelles de la fonction. On substituera dans la fonction les nombres :

— oc , a j D ^ c, ***7 — — '■-^ j les racines étant supposées rangées par ordre de grandeurs croissantes. On déterminera les signes correspondants de la fonction. Chacun des intervalles comprend zéro ou une racine suivant que les résultats de la substitution sont de même signe ou de signes contraires (§ 38).

43. Un facteur premier d'ordre n d'un polynôme est facteur n — 1 de sa dérivée.

Supposons le polynôme mis sous la forme :

y = {x — aY(^{x), (p(ic) n'est plus divisible par x — a n'admet plus a comme racine. On a :

ou

ce qui revient au même,

da^ dx

La parenthèse n'est pas divisible par [x — a), car pour x = a.

Fig. 36.

elle prend la valeur /i(p(a), qui par hypothèse n'est pas nulle. Donc le facteur x — a n'intervient dans la dérivée qu'à la puissance n~\.

Reportons-nous au § 33. Si n est pair (fîg-. 36 à gauche), nous savons que la courbe y est tangente à Oj:- pour x^za, et reste du même côté de sa tangente de part et d'autre du point A d'abscisse a. Donc sa dérivée z, qui s'annule pour la même valeur de x, traverse Taxe des X en ce point. Si n = 2, c'est une droite. Si « = 4, 6, .... c'est une courbe du 3", 5% ... degré qui présente au point A un contact d'ordre impair avec Ox.

Si n est impair(fig. 36 à droite), la courbe ?/, tangente à Ox au point A, passe d'un côté à l'autre de Or. La courbe z reste du même côté.

Exception doit être faite pour n^= i : la courbe y est une droite inclinée ; la courbe z est une droite horizontale qui ne passe pas par le point A.

Le théorème qui vient d'être démontré peut s'énoncer de la manière suivante : une racine multiple d'ordre n d'un polynôme est racine d'ordre n — 1 de sa dérivée.