Pinceau de normales

i". — Considérons les normales à un élément S de la surface que, p; ur préciser, nous supposerons circulaire ou elliptique. Nous appellerons normale moyenne celle qui passe par le centre de l'ellipse.

A cause de la continuité, les normales d'un pinceau sont tangentes

Fig. 299.

à chacune des nappes de la caustique (§ 437) en des points voisins. Elles touchent donc toutes une petite aire découpée sur chaque nappe , aire assimilable à un fragment de plan. Chaque pinceau a donc deux aires d'amincissement qui sont les régions où les normales du pinceau touchent les deux nappes de la caustique. Le pinceau s'y aplatit alors en formant approximativement deux petits morceaux de plans. Ces petits plans ^i et —2 passent par la normale moyenne. Il est clair qu'ils font respectivement partie des sections principales P.2 et Pi de la surface qui correspondent à cette normale, puisque les plans P2 et Pj sont respectivement tangents à l'une des nappes de la caustique. Les éléments ^i et ^2 sont donc normaux l'un sur l'autre, comme les plans P2 et Pj.

<2\ La figure 300 fera mieux comprendre de quoi il s'agit; on

la comparera utilement à la figure 293 qu'elle complète. Elle montre une ligne de courbure P., et plusieurs lignes normales P;, P^, P;'. A ces lignes correspondent les arêtes de rebroussement a[, Sj, a'I, qui engendrent la nappe ^^ de la caustique. A la ligne de courbure P2 correspond l'arête de rebroussement aa.

On voit immédiatement que la section principale P. au point 0

est tangente à la nappe ^1 de la caustique au point Cj qui est le centre de courbure de la section principale P, au même point O.

Si maintenant on ne considère ([u'un pinceau de normales correspondant à une aire admettant 0 comme centre, on comprend qu'il ait une aire d'amincissement Il dans le plan P», au voisinage du centre de courbure G, de la section principale P,.

llaurauneseconde aire d'amincissement -2 dans le plan P,, au voisinage du centre de courbure Gode la section principale Pa- ,^". — Gonsidérons des droites quelconques , en nombre par conséquent infini, tracées sur les aires d'amincissement et passant par le point de tangence de la norm;ile moyenne ; ce sont ce que les Physiciens appellent les focales. On peut dire que les normales du pinceau s'appuient toutes sur deux focales, l'une arbitrairement prise dans l'aire ^,, l'autre arbitrairement prise dans l'aire — o- Ges propositions ont une grande importance en Physique, parce que les rayons lumineux issus d'un point et ayant traversé autant de milieux isotropes qu'on veut, sont normaux à une surface qui est la surface d'onde.

Normale moyenne

Fig. 300.