Focales de Sturm

On peut présenter les mêmes propositions d'une autre manière.

i". — Menons la normale en 0 à la surface (fig. 301) et les sections principales Pj , P.; soient G,, G^ , les centres de courbure correspondants. Les normales très voisines de 00' et situées dans le

plan Pi, vont passer en G^; les normales très voisines de 00' et situées dans le plan Pg, vont passer en G2.

Faisons tourner la section A^OBj autour d'une droite F2 de son plan Pi, normale à 00' et passant par G.2. Le point 0 décrit la courbe A2OB2; la courbe A^OBi engendre un éléments delà surface; enfin le point Gi décrit un élément de la droite F^ située dans P2 et normale à 00'.

Faisons tourner la section A2OB2 autour d'une droite F^ de son

Fig. 301.

plan P2, normale à 00' et passant par Gi. Le point 0 décrit la courbe A,OBi; la courbe A2OB2 engendre l'élément S de la surface; enfin le point G2 décrit un élément de la droite F2 située dans P^ et normale à 00'.

Nous venons de prouver que toutes les normales à l'élément de surface S s'appuient à la limite sur deux éléments de droite F^ et F2, perpendiculaires à la normale moyenne et situées respectivement dans les sections principales P^ et Pg.

On les appelle focales de Sturm.

Ges focales font naturellement partie des aires d'amincissement Si et 2^2 définies au paragraphe précédent.

^'', — L'inconvénient grave du raisonnement que nous venons de faire est d'attribuer une importance exagérée à ces focales de Sturm; il a conduit en Optique géométrique à une infinité d'idées fausses et de conclusions erronées.

En effet, il est faux de croire que les focales de Sturm sont privilégiées par rapport à la manière dont les normales du pinceau s'appuient dessus. On s'en convainc par l'exemple des surfaces de révolution (§ 473); les normales passent rigoureusement par l'axe de révolution auxquelles cependant elles ne sont généralement pas perpen-

diculairos. La focale de Sturm qui coupe l'axe de révolution et qui est dans le plan méridien correspondant à l'élément de surface considéré, touche donc moins parfaitement les normales que Télément de l'axe de révolution.

D'une manière générale, les normales s'appuient de la même manière sur toutes les droites tracées dans les aires d'amincissement. Quand leur distance à certaines de ces droites est un infiniment petit d'ordre supérieur, les focales privilégiées ne sont pas nécessairement celles de Sturm.

Du reste, on voit immédiatement en quoi le raisonnement prête à erreur. Il suppose que les normales le long de A, 013, passent rigoureusement en Cl , que les normales à AjOBj passent rigoureusement en G,. C'est vrai à la limite; mais alors le pinceau se réduit à la droite 00', et le théorème est (|uasiment illusoire. L'intérêt des considérations sur les pinceaux réside dans la discussion du phénomène quand le pinceau est très délié, et non pas de ce qui arrive quand les focales se réduisent rigoureusement à un point.