CHAPITRE XXII FLUX ET CIRCULATION DES VECTEURS
480. Vitesse en un point d'un fluide. Ligne de courant, tubes de courant, surfaces de courant.
/". — Les notions que nous avons à définir existent en dehors de leurs applications, du reste comme toutes les notions mathématiques. Mais pour faciliter leur compréhension , il est utile de les concrétiser. Nous emprunterons donc notre langage à l'Hydrodynamique.
Imaginons immergé dans un fluide indéfini de petits corps ayant même densité que lui. Supposons le fluide en mouvement; en chaque point et à chaque instant, chacun de ces corps a une vitesse de grandeur et de direction bien déterminées; le vecteur représentatif mesure la vitesse géométrique.
La vitesse matérielle est la vitesse géométrique multipliée par la densité; nous désignerons sa grandeur par le symbole U, ses composantes suivant trois axes rectangulaires par les symboles u^v^ w.
On a : \]^^ = if- J^ v"^ ^ iv'- ;
u, V, IV, sont généralement des fonctions des coordonnées x, y, z, et du temps t. L'espace dans lequel le vecteur w, v, ta, est défini, s'appelle le champ du vecteur. Il est clair que la vitesse géométrique et la vitesse matérielle ont même direction en tous les points du champ, direction généralement variable d'un point à l'autre. Leurs grandeurs seules diffèrent par un facteur fonction du point considéré. Pour exprimer le déplacement du fluide supposé compressible^ la vitesse matérielle est nécessaire; car, suivant la densité, la même vitesse géométrique correspond à des déplacements de matière très différents.
Dans ce qui suit, nous ne considérons que la vitesse matérielle; nous supprimerons donc l'épithète, puisque l'ambiguïté n'est pas à craindre.
^°. — Nous disons que le mouvement est permanent^ quand il s'effectue en tout point du champ avec une vitesse constante en gran-
COUnS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉliALES
deur et direction. Les composantes «, v, iv, ne sont alors fonction que de X, y, z, tandis que dans le cas général elles dépendent aussi du temps. Nous nous llmiferons aux mouvements permanents.
;l , — Une surface est une surface de courant, si le mouvement s'elfectue suivant des lignes tracées sur elle.
Cherchons la condition à satisfaire.
Soit: y(.r, //,;:) =r A, ^ (1)
une surface de courant; X est une constante. Écrivons que le vecteur //, V, w, relatif à tout point A de cette surface, est dans le plan tangent au point A. Il revient au même d'écrire que le vecteur est perpendiculaire à la normale à la surface (§ 322) :
Si cette condition est identiquement vérifiée, l'équation (l) représente un faisceau de surfaces de courant. On obtient toutes les surfaces du fîùsceau on faisant varier le paramètre )..
La couche comprise entre deux surfaces de courant est une nappe de courant.
/°. — Considérons un second faisceau de surfaces de courant :
^ (.r, //, z) = ;x, où \j. est la cote de la surface.
Nous avons identiquement :
M , M , M ^ ùx ' ô// ' 0:;
Les deux faisceaux de surfaces découpent l'espace en tubes de courant. Leurs intersections deux à deux sont des lignes de courant, trajectoires des mobiles qui servent à déterminer la vitesse géométrique du fluide.
11 est important de ne pas oublier que les surfaces, tubes, lignes de courant restent les mêmes, que Ton considère la vitesse géométr'ique ou la vitesse matérielle.
481. Flux ou débit à travers une surface. / '. — On appelle l}ux du vecteur à travers un élément dS de surface, le produit : U cos 0 . (/S,
du vecteur U par Taire (/S de l'élément, et par le cosinus de l'angle 8 que fait le vecteur U avec la normale à l'élément. U est facile de voir que le flux du vecteur correspond exactement à l'idée de débit d'un fluide à travers un élément de surface : il mesure la quantité de matière qui traverse l'élément dans l'unité de temps.
Décomposons en effet la vitesse qu'a le fluide quand il traverse l'élément, en une composante tangentielle et une composante normale UcosB. La composantetangentielle, j)our grande qu'elle soit, n'amène pas de liquide à travers l'élément. Seule agit la composante normale ;
FLUX ET CIRCULATION DES VECTEURS
le débit est le produit U cos ô . (/S, de sa grandeur par Taire de 1 élément.
A travers une surface finie, le flux total ou le débit total sont :
/ Tu cos 0 (/S ;
l'intégrale est étendue à la surface entière. C'est la quantité de matière qui traverse la surface dans l'unité de temps.
Soit a, (^, Y, les cosinus directeurs de la normale à la surface en un de ses points. On a :
U cos (j = UQL-\-v^^-\- irv,
xdS = dy dz, ^ùdS = dz d,r, -^'dS = dx dy ;
/ / U cos (i dS= j [u dy dz -\- v dz dx -\- iv dx dy).
^". — Evaluons le flux à travers un élément plan lîni S que, pour simplifier Técriture, nous placerons normalement à Taxe de x.
Le flux est : lu dy dz.
Si u est constant, l'intégrale est uS. Supposons que u varie ; développons sa valeur en fonction des variables y et :;, les seules qui interviennent, puisque le plan est normal à Ox. Nous avons :
I u dy dz = UoS -|- a / / y dy dz-\-b j z dy dz -\-. . ,
Si le point où u a la valeur u^^ est choisi de manière que les intégrales s'annulent, le flux aura pour expression UqS aux quantités du second ordre près. Or ces conditions définissent ce qu'on appelle le centre de gravité de la surface (^ 163,,^°). D'où la proposition : si la vitesse varie assez peu au voisinage d'un point A pour qu'on puisse la considérer comme une fonction linéaire des coordonnées, on obtient le flux à travers un élément plan passant par A, en multipliant l'aire de l'élément par la valeur que prend la composante normale de la vitesse en son centre de gravité.
S"". — Calculons le flux à travers la surface qui limite l'élément parallélipipédique représenté figure 309. Fig. 309.
En vertu de ce qui précède , le flux à travers la face efyh est égal à udy dz.où. u est la valeur que prend cette fonction au centre de figure de la face. Le flux entre dans le parallélipipède ; nous le prendrons négativement.
if
Le flux à travers la face ahcd est :
Ox
dx]dy dz.
Il sort du parallélipipède ; nous le prendrons positivement. La somme algébrique des deux flux (flux qui sort en définitive) est :
-^dxdijdz.
Les vecteurs v et ?/; ne donnent aucun flux à travers les éléments perpendiculaires à Ox. Opérons de même pour les autres couples de faces. Il vient pour expression du flux total qui sort en définitive :
La quantité entre parenthèses a une importance capitale : elle s'appelle la diver(jenco du vecteur u, v, »% au point considéré.
On comprend maintenant pourquoi nous avons démontré le lemme i?". Les variations de u le long de l'élément abcd sont du même ordre que les quantités que nous conservons ; il n'est donc pas légitime de les négliger; mais elles disparaissent d'elles-mêmes en vertu du lemme.
482. Flux conservatif et non conservatif. 1". — On dit (}ue le flux est conservatif dans un espace donné, lorsqu'il est le même à travers toutes les surfaces qui st>nt limitées par le même contour, les surfaces demeurant tout entières dans l'espace donné. Gela revient à dire (|ue la quantité de matière qui passe à travers toutes ces surfaces dans le même temps est la même, que le débit total est le même pour toutes ces surfaces. Cela revient encore à dire (jue le fluide supposé continu est incompressible.
Posons que le flux est le même à travers deux surfaces S, et Sj limitées au même contour G. Gomme dans l'expression du flux intervient le cosinus de l'angle du vecteur avec la normale à la surface, il faut, pour définir complètement le flux, choisir un sens sur cette normale.
Nous pouvons le faire arbitrairement pour
l'une des surfaces ; notre choix pour l'autre
est alors déterminé par la condition cju'en déformant et étirant la
première surface pour l'amener à coïncider avec la seconde, les sens
sur les normales soient alors les mêmes.
C'est ainsi que les sens ont été choisis dans la figure 310.
Fig. 310.
FLUX ET CIRCULATION DES VECTEURS
^°. — Montrons que si le (lux est conservatif , il est nul à travers toute surface fermée, à la condition de prendre les normales toutes vers l'extérieur, ou toutes vers l'intérieur de la surface fermée.
Généralement on prend leur direction positive vers l'extérieur de la surface.
En effet, si les flux sont égaux à travers S^ et S^ quand les normales sont dirigées suivant la première convention , ils sont égaux et de signes contraires quand les normales sont dirigées suivant la seconde , puisque changer la convention nous amène à retourner toutes les normales pour l'une des surfaces, par conséquent à changer le signe des cosinus pour tous les éléments de l'une des intégrales.
Si Ton a /, ==0/3, dans le premier cas, on a /j-j- 0/2 = 0, dans le second. GQFD.
S''. — Cherchons la condition analytique pour que le flux soit conservatif. Il a pour expression :
/= // {udy dz-\-vdzdx-\-ivdxdy) ; (1)
rintégrale est étendue à toute la surface. Etudions -en la première
