Cônes sphériques

/' — Enlevons à une sphère un fuseau; enroulons ce qui reste autour (le la U^ne des pôles : nous obtenons une surface de révolution qui s'appelle un double cône sphérif/ue. Le lecteur fera Texpé-

Fig. 3<J8.

rience avec un ballon de caoutchouc ou de celluloïd, dont il supprimera, par exemple, un quadrant.

(Cherchons l'équation de la nouvelle méridienne (iig. 308).

Soit R le rayon de la sphère ; ses points sont déterminés par la longitude (dont nous n'aurons pas à nous occuper) et la latitude o.

lui supprimant un fuseau et en enroulant ce qui reste autour de ()3, nous remplaçons un parallèle BF par un parallèle B'F' plus court dans un rapport A", le même pour tous les parallèles: les rayons des parallèles correspondants sont dans le même rapport ; d où la première relation :

BF = .r = R cos o , B'F' =zx' = kR cos o ; dx' r= — A'R sin o . do.

Ecrivons que les arcs des méridiennes compris entre des points correspondants sont égaux :

BC = BX:' = Wdo , dz' + dx'^- ==: W-df;

z'r=R j \'i— ^''sin^(p dr^.

dz = R \/l — A- sin -o do ,

En définitive, les équations des méridiennes des deux courbes sont, pour la sphère :

x = ^ cos (p , ;j = R sin cp ;

pour le cône sphérique :

:c' = A:Rcoso, z' = R j \/l — k^ sin^ n^ dc^.

2' s'exprime donc au moyen de Y intégrale elliptique de seconde espèce étudiée au § 183.

^". — Evaluons les longueurs BE = T, B'E':^T'.

^ . , dx' .

On a : sm 0= ■> , ■= k sm cp ;

les sinus des angles que font les tangentes avec l'axe de révolution , sont dans un rapport constant.

Au point D , on a sin 0 rrr: 1 ; l'angle çp' au sommet D' est donc fourni par la relation sino' = A;.

On a : T' sin (p' = a?', Tsino=r:ic; d'où: T = T';

les distances des points correspondants à l'axe de révolution, distances comptées sur la tangente, sont égales.

S°. — Calculons les rayons de courbure principaux en B'.

L'un d'eux est égal à B'G' . On a :

1 v^l — A;sin^9

cos çp' pi /cRcoscp

L'autre p2 ^st le rayon de courbure de la méridienne ; il est donc égal (§ 92) à l'arc de méridienne divisé par la différence des angles que font avec une droite invariable (0'^', par exemple) les tangentes aux extrémités de l'arc :

1 d(^' 1 A; cos 9 1 1

77~ R(/^~ R^y/T^FsmY' p^'^R^'

Conformément au théorème de Gauss , la courbure en tout point du cône sphérique est la même et égale à celle de la sphère génératrice.

4*. — La longueur du cône est :

WD' = Rf^ V^l — A;2sin29 do = E;

C'est l'intégrale complète de seconde espèce pour le module k. Pour A: = 0 , on a : O'D' = t. '. 2, ce qui est évident a priori.

5°. — Evaluons le volume. Il a pour expression (§ 3^2) :

V = I T.k^R'^ cos^ (^ . dz = T. knV / cos- (^\/i — k^ sin^ 9 . J9.

Cette intégrale se ramène aisément aux intégrales de première et de seconde espèces (§§ 183 et 184). On a :

3/t- Tcos^ 9 v'I — k^ sin* ç . do = k- sin o cos o \/ 1 — A:* sin« 9

ce qu'on vérifiera immédiatement par dilFérentiation.

En particulier, le volume du cône sphérique entier est :

OÙ E et F sont les intégrales complètes de seconde et de première espèces (§ 187).

479^'^. Application des hélicoïdes.

On démontre que les hélicoïdes sont a])plicables sur des surfaces de révolution. On vérilierji le théorème pour l'hélicoïde gauche à plan directeur (§ 4G4) ; il s'appli(|ue sur la calénoide (^ 408). Les génératrices rectilignes se superposent aux méridiens ; les hélices trajectoires orthogonales des génératrices se superposent aux parallèles.

Nous savons que les deux surfaces sont minima. Leurs rayons de courbure ont les expressions de même forme :

±f = T + /'. ±f=ïï'--+2^-

h est le paramètre de la chaînette ()^ 21 G), s l'arc de méridien de la caténoïde; H est le pas de l'hélicoïde. r la distance à l'axe comptée sur la génératrice rectiligne. On réalise donc la condition : ll=^2zh. Ceci posé, on montre immédiatement que les éléments d'arcs tracés sur l'hélicoïde (§ 439, -/") et sur la caténoïde (J^S 216 et 378, 4") ont la même expression.