Cas général

L'équation qu il s'agit d'intéj^rer est :

Ur4- 2S.v + T/=rO,

Aï^ A2- At-

ou: R-^.-4-2S, r +t!^':=0, (1)

R, S, T, sont des constantes. L'intégrale est :

OÙ f et F sont des fonctions arbitraires; V,, Vj sont des constantes fonctions des paramètres R, S, T.

Il résulte d'abord de la forme linéaire de l'équation (1) que si des fonctions /", F, ..., de x et de y lui satisfont isolément, la somme de ces fonctions multipliées par des constantes arbitraires lui satisfera. Etudions donc séparément les deux parties de l'intégrale (2).

La fonction z=:f{x,y), peut être considérée comme dépendant de la variable auxiliaire unique t [ (jui n'a rien de commun avec le symbole

t de l'équation (1)] : t = \y -\-x ,

elle-même fonction des variables x et y. On a donc :

Ox ' i)y — ^ '

Ôa? dt ^x dt ' '^y dt ày dt '

Nous exprimons ainsi que ^ ou /" ne varient respectivement avec X ou y qu'autant qu'elles varient avec t et que t lui-même varie quand x ou y changent de valeurs.

On a de même :

à^ __ô àz ^ df d'f àt (/y 5a?2 ùx àx àx dt dt^ ^x dt- '

ô^- ôî/ ôî/ ôî/ (/^ dt~ ùy dt~ '

Ôic 01/ Ôy ôa? Ôî/ (/^ df- hy df ' Substituons dans l'équation (1); il vient :

Cette équation sera identiquement satisfaite, quelle que soit la fonction ^ si Ion a : R -f 2S V + T V^ == 0 . (3)

Nous laissons de côté le cas où /' est une fonction linéaire de t, auquel cas sa dérivée seconde est identiquement nulle.

Il existe donc deux valeurs V^ et V.^ de V généralement différentes, pour lesquelles la fonction r{^y-\-x) satisfait à l'équation proposée : ce sont les racines de l'équation (3). Nous sommes donc assurés que (2) est une solution de l'équation proposée (1) : nous admettons que c'est la solution la plus ffénérale.