Cas des racines égales

Si les racines de l'équation (3) sont égales (Vi^rVs), la solution : . = ^(V,2/ + ^)4-F(V,2/+x)

ne contient plus qu'une seule fonction arbitraire, car la somme de deux fonctions arbitraires d'une même variable ne constitue en réalité qu'une fonction arbitraire.

Si V est racine double de l'équation (3), on a simultanément (§ 43) :

K4 2SV-f TV2 = 0, S-fTV=:0. (4)

Vérifions qu'on a une solution en posant :

- = 2/AV2/ + ^) + F(V2/+x),

OÙ V est la racine double de l'équation (3). Nous savons que la fonction F est une intégrale; montrons qu'il en est de même pour la fonction yf. On a :

bx —y dt ' ô?/ —i^^y dt '

^H __ (Pf 'b^z df d^f

hx"" —y df ' 6x ày "~ dt + ^ df '

Substituons ces valeurs dans l'équation (I), il vient l'équation :

,y-g^|H + 2SV + TV-+2^iS + TV|=0,

qui est une identité quand V satisfait aux relations (4).

On comparera utilement ce paragraphe au paragraphe 284 ; on constatera l'analogie des solutions.