L-équatio„: r2+2S^ + T

admet l'intégrale particulière :

z = a„ sin \n{Yy + x) — a„] , (2)

qui rentre dans la forme générale (2) du Jn 493. Nous avons déjà fait observer qu'en vertu de la forme linéaire de l'équation (l), la somme d'autant de solutions particulières qu'on voudra est une solution. Nous savons, d'autre part (J^ 265), que toute fonction périodique de x peut être développée en série de la forme :

Ao-f- /, a,,sin{nx — a„). (3)

Nous concluons que toutes les fonctions périodiques qui satisfont à l'équation (1), peuvent être mises sous la forme :

s = Ao + 2j a„ sin | n{y,y + x) — a J + ^ ^ a'„ sin \n{\\y + x) — a',J ,

contenant les quatre infinités de constantes : a„, a'„, a„, a'„.

Gomment sont déterminées ces constantes est une question que nous ne traiterons pas ici; nous renverrons au Couj^s de Mécanique physique^ qui contient de nombreux exemples, et où les quantités se trouvent concrétisées en notions expérimentales.

499. Équations qui se ramènent à Téquation linéaire du second ordre.

1°. — Dans la propagation des ondes, on rencontre l'équation :

Nous en avons immédiatement la solution générale :

OÙ f représente deux fonctions arbitraires, une pour chaque signe. On a : 4^= \ /•(/) =p — '({ , t^Vy-^x.

i^°. — On rencontre aussi ré({uation :

6î/2 — Ox \i\x ' .r /' ^-^

l'intégrale générale en est :

.r* ^ ' ^^ X (tt ' —

Les é(|uations (1) et (2) reviennent donc exactement au même, à la condition de poser :

ùZ

3'. — L'é(juation du premier ordre :

07 — ^ Ox ' ^'^^

rentre comme cas particulier dans l'équation :

En effet, dérivons ()J) successivement par rapport à .r et à ij :

La solution générale de (3) est : z ^= [{V y -\- x) ,

On trouverait de même : z = f{Wij — x)^ comme solution géné-

raie de : ^-- z= — V -^: — .

Oy ùx

Toutes ces remarques sont capitales dans les théories des cordes vibrantes et des tuvaux sonores.

Équation de la Conductibilité calorifique ou électrique.

. 500. Établissement de réquation.

Les équations aux dérivées partielles sont le mode naturel d'expression des conséquences des lois physiques. Elles déterminent, non pas le détail d'un phénomène particulier, mais les conditions générales de tous les phénomènes de même nature ; d'où les fonctions arbitraires que contiennent les intégrales, fonctions qui sont déterminées par les conditions particulières imposées.

Nous allons montrer la nature du problème sur un cas simple et