X.dJC

Fig. 318.

dont le lecteur pourra suivre la discussion sans être versé dans l'étude de la Physique (fig. 318).

Imaginons une barre cylindrique dont la température T est la même en tous les points d'une section droite AB, mais varie d'une section à l'autre et d'un instant à l'autre :

Il s'agit de trouver les conditions générales auxquelles la fonction T (a;, ^) doit satisfaire, indépendamment de foute autre spécification.

Posons, comme le veut Texpérience, que la quantité de chaleur qui traverse dans le temps dt la section AB est proportionnelle : 1° au taux de diminution de la température , 2" à l'aire s de la section droite de la barre, 3" au temps dt. Du reste, ce sont les hypothèses les plus simples. Elles s'expriment par l'équation :

A travers la section CD, la formule précédente sera applicable en remplaçant x, par x-{-dx ou T par :

T + -^^^; d'où: d,Q = -ks{^-^ + ^^dxjdt.

La quantité de chaleur qui reste dans l'élément de volume ABGD , est la différence entre ce qui entre et ce qui sort :

d,() — d,Q = k ^ sdxdt,

Coiars de Mathématiques générales. — H. Douasse. 38

Ce qui précède revient à dire que la température Joue le rôle d'un potentiel par rapport à la vitesse de propagation de la chaleur (§ 485 j. Les surfaces équipotentielles ou isothermes sont, par hypothèse, les sections droites du cylindre.

La quantité Q joue le rôle du débit en Hydrodynamique [^ 481).

De cette chaleur, une portion se perd à travers les parois latérales. Posons qu'elle est proportionnelle : 1" à la température, 2" à la surface latérale, produit du périmètre /; par la longueur dx de l'élément, 3" au temps dt : j) k'T d.r dt.

La seconde portion sert à échaulfer le petit volume. Soit p la densité, c la chaleur spécifique de la matière employée, (ôT ; ()t)dt l'accroissement de température au même endroit (r/./- = 0) pendant le temps dt. On a en définitive :

A: -T- 2 s d.r dt z=j)/,'T d.r dt -j- cp -^— s dx dt.

Supprimant les facteurs communs, il reste :

Telle est l'équation aux dérivées partielles à satisfaire dans tous les cas y quel que soit le phénomène particulier considéré, pourvu qu'il rentre dans la définition qénérale qui vient d'être donnée. Suivant les conditions particulières imposées, nous serons conduits à choisir des intégrales de formes très diverses qui auront en commun de satisfaire à l'équation (1) plus ou moins simplifiée.