Solution sous forme d'intégrale à limites fixes
Vérifions que l'intégrale définie :
Tr= / o(x±2zsir)e-'''dz,
est une solution de l'équation (1). Prenons par exemple le signe -|— La fonction 9 dépend de la variable auxiliaire m = rr -|- 2z\JJ .
On a
àz dtù ^ '
ho
ht
dr^ z b(p 2 ~ diù yJJ ~~ bz 2t '
è^o (/'9 ô«9 1 ùx' dùi^ 6z^ kt
Pour que (4) satisfasse à Téquation du § 505, il faut qu'on ait identiquement, d'après les règles de la dérivation sous le signe / par rapport à un ou plusieurs paramètres servant de variables (S 301) :
/ Kht hx^r " — 4/ / \hi-' hz^r "■'— ■
Orona: g-.--2./. = {- ^e" =']+ § e-V.
Pour que la proposition soit vérifiée, il suffit donc que la quantité entre crochets s'annule pour -4- ^ .
507. État variable avec refroidissement latéral. 1" Etudions une solution particulière de l'équation complétée :
On vérifiera qu'il existe une intégrale de la forme :
T = To e- f^^ sin (<.,/ — :j> — Xo). (2)
Substituant (2) dans (i), on trouve les conditions :
jxix' = a-co ; [J? = 2 +V "4" + ''*'"* , •/' = — '2 +V T + ^*<^* •
Si />rrrO, il vient : <^^ = '^! z=z a )J m , conformément au î:! 502.
Pour ir=:rO, T = Tosin((o^ — ao).
La solution précédente convient donc au cas où la barre subit un refroidissement latéral, et où on impose une variation sinusoïdale périodique à l'une des extrémités. La période arbitraire est
T = 2:: * fo.
^". — On peut généraliser la solution en additionnant autant de solutions précédentes qu'on veut. Par exemple on impose, non plus une variation sinusoïdale^ mais une variation périodique pouvant se représenter par la série :
, T = Tj sin [cùt — ai) -}- Ta sin (2b)t — as) + . . .
limitée à un très petit nombre de termes.
La solution se compose d'un même nombre de termes de la forme (2), dans lesquels w est successivement remplacé par w, 2o), 3(o,...
Équations aux dérivées partielles de l'Optique.
