Intégration par les séries

/'*. — Cherchons à exprimer l'intégrale de l'équation :

dx'- — ht ' ^ 1

par un développement en série suivant les puissances croissantes et entières de t. Posons :

T = ?H + X ?iH + T75' ?^(^) + •••

où o, Oi, 92 V sont des fonctions à déterminer.

ÔT t t^

Identifions : 9^ = 9", 9, = 9'/ = 9''', 93 = 92 = 9''S . . . D'où la solution :

La fonction o[x) reste arbitraire.

^2". — Cherchons à exprimer l'intégrale par un développement en série suivant les puissances croissantes et entières de x. Posons :

T = •>(<) + T m + iTJ '^^W + T-^ ■^'^') +• • •

• Identifions : 6. = «]>', '^3 = 'i^i, 'b^=^'b'^ = 'h'\... D'où la solution :

II y a deux fonctions arbitraires '|(/) et 'J>i(^). Remplaçant les deux fonctions par des développements en série suivant les puissances croissantes de t^ on démontre aisément que les intégrales (2) et (3) rentrent l'une dans l'autre, bien que l'une contienne une fonction arbitraire et que l'autre en contienne deux.