TÂTONNEMENTS

Je suppose ne rien savoir que la définition des racines. Je tâtonne donc. Egaler a? à un monôme, poser x = a, ne fait que changer de notation. Je pose donc .r = a-|-/;, et je substitue :

a'--\-b^-\-2ah + ap+hp-}-q=:0.

Cette équation doit être satisfaite identiquement; j'ai deux arbitraires, je vais m'en servir au mieux. Après avoir déterminé l'une d'elles, l'autre doit être calculable par une équation du premier degré que par hypothèse je sais résoudre.

Je n'ai plus l'embarras du choix; j'écris :

( 2 a + /) ) /) + a ^ + />« 4- a/) 4- y = 0 . Je pose :

f, d'où: h'- = I^-^i, /> = ±y/Ç-y;

et enfin : x

-^IL^JP

L'hypothèse xz=n-\-b, la plus simple après l'hypothèse x = a, a donc réussi. Sinon, j'aurais cherché autre chose.

,f'. — Méthodes élégantes.

Les mathématiciens en conviennent : c'est ainsi qu'on a dû résoudre l'équation du second de^ré pour la première fois; sinon exactement ainsi , du moins par des procédés similaires. Mais ce n'est jamais ainsi qu'on présente le problème au débutant. On a recours à une ficelle : Essayons de faire apparaître un carré parfait y ... etc. ...; tout le monde connaît le procédé.

C'est, dit-on, remarquablement élégant. Malheureusement ce truc ne sert exactement que dans ce cas particulier, tandis que la méthode de tAtonnement est générale. Elle réussit immédiatement chaque fois qu'on connaît la forme du résultat; elle suggère aisément cette forme. Ses applications pratiques sont innombrables.

h'analoffie n'est au surplus qu'une des formes du tâtonnement.

4'\ — Trucs et ficelles.

Mais l'inconvénient le plus grave du truc est de laisser aux élèves une idée fausse : à savoir f/u'il constitue une démonstration. Or, par détinition, il n'existe d'autre démonstration de la convenance d'une expression comme racine, que la substitution dans l'équation qui devient alors une identité : c'est une vérité dont les élèves qui se présentent au baccalauréat, n'ont généralement pas la moindre notion.

Mais, objectez-vous, il serait plus simple de dire aux enfants : Les racines de l'équation (l)sont les expressions [2)\ vérifions-le par substitution.

C'est exactement mon avis : je procède ainsi tout le long de ce Cours. J'y vois l'avantage considérable de supprimer une infinité de choses inutiles. Puisque les méthodes de pseudo- découverte sont fabriquées après coup et constituent des trompe-Vœil, autant donner tout de suite le résultat et prouver qu'il est correct : c'est simple, clair, et n'entraîne aucune idée fausse.

Malheureusement ce procédé heurte toute l'école pour laquelle la recherche des résultats est plus intéressante que les résultats euxmêmes. Il a de plus l'inconvénient de maigrir les mathématiques à les faire ressembler à un squelette : loin de s'en réjouir comme ils devraient, les mathématiciens en sont consternés. •

5"*. — Tours de passe-passe continuels.

Ce que j'ai dit de la résolution de réquation du second degré, je pourrais le répéter à toutes les pages du Cours de Calcul différentiel et intégral : les méthodes de soi-disant découverte ont été fabriquées après coup, pour avoir Fair de trouver par la seule pénétration du génie ce qui est le résultat d'un heureux tâtonnement. On a construit un édifice artificiel qu'on offre à notre admiration comme s'il représentait l'ordre naturel en personne. Le résultat le plus clair de cette entreprise est de convaincre l'élève que les mathématiques sont une collection de tours de passe-passe qu'il faut être infiniment malin pour assimiler, tandis qu'elles représentent des constatations élémentaires et quasiment évidentes, exprimées en un langage très simple dont la clef fonctionne sans qu'il soit besoin de formules magiques.

6*". — Termes de comparaison.

Quand on regarde sans préjugés les procédés mathématiques, on est frappé de leur simplicité, je dirai même de leur terre-à-terre : au surplus, de là proviennent leur évidence et leur valeur.

Voici la marche habituelle : on étudie des cas simples dont les solutions servent ensuite de termes de comparaison ^ dans les cas complexes, pour conclure a fortiori.

Par exemple, on étudie les courbes algébriques; elles servent de termes de comparaison pour les courbes transcendantes, après développements en série des transcendantes. On étudie la progression géométrique ; on conclut la convergence ou la divergence des séries par comparaison avec elle. Et ainsi de suite.

Il n'y a rien là de très relevé. Encore une fois, je ne m'en plains pas ; mais pourquoi le faire à la pose ?

7". — Théorèmes et prorlèmes.

Une habitude bizarre et néfaste consiste à distinguer le théorème du problème. Dire que la différence réside dans la forme de l'énoncé est une sottise : il n'y a pas un théorème qu'on ne puisse proposer comme un problème à résoudre; il n'y a pas de problème qu'on ne puisse énoncer sous forme dogmatique. A la vérité, suivant leur^ goûts, les professeurs installent les propositions dans l'une ou l'autre case. Mais on trouble ainsi les meilleurs élèves : ils sont longtemps, j'en parle d'après une expérience personnelle, à rejeter le poids de ces distinctions artificielles.

Voici la raison, généralement oubliée , de ces dénominations.

Il existe une trame indispensable de propositions qu'on doit nécessairement connaître ; elles sont en très petit nombre.

Si l'on veut, on les décorera du nom de théorèmes.

Il existe en dehors une infinité de propositions moins importantes , qui se déduisent des premières, comme qui dirait les branches secondaires par rapport aux maîtresses branches.

On les appelle problèmes, l^n ouvrant une ancienne géométrie, on vérifiera ces définitions.

Malheureusement notre enseignement a grossi démesurément le nombre des propositions qu'il faut, paraît-il, connaître, par rapport à celles qu'on doit être capable de retrouver et qu'il est au moins inutile de conserver dans sa mémoire. (Conséquence logique de notre système d'examens qui exige un psittacisme perfectionné !

S". — Réciprocité des propositions.

Les mathématiciens (dont je parle) sont tellement occupés de couper des cheveux en quatre, (|u'ils en oublient auprès de leurs élèves les explications les plus essentielles. Ainsi je n'ai rencontré dans aucun cours le commentaire de cette remarque simple, à savoir que les propositions démontrées par voie analytique entraînent généralement leur réciproque, ce qui n'est pas le Cas des propositions démontrées par voie géométrique. Voilà pourtant une excellente occasion de forcer les élèves à réfléchir sur ce que les logiciens appellent l'extension et la compréhension des propositions, ou, si Ton veut, sur la généralité de la conclusion comparée à celle des prémisses ! voilà pourtant des u idées générales » !