Méthodes générales, démonstrations générales

Les matliématicions (dont je jïarlei ont à la fois la r(ige des déinnnstratioîis (/énérales et des méthodes /)arficulières. Pour subtile qu'elle paraisse, cette distinction est pédagogiquement fondamentale.

Vous trouverez des mécaniciens qui usent du tout petit caractère d'imprimerie pour exposer les équations de Lagrange, qui à côté de cela prétendront donner à de futurs ingénieurs des démonstrations générales de certaines propositions parfaitement inutiles.

Ceux qui considèrent les mathématiques comme un outil procèdent exactement à l'inverse. Sans se soucier de fournir de la méthode générale une démonstration en forme^ ils l'utilisent pour résoudre une série de cas particuliers.

Vous offrez un outil aux mathématiciens (dont je parle) et les priez de s'en servir. « Le manche est-il solide? demandent-ils. — Tapez dessus, vous le verrez bien! — La lame est-elle trempée?

— Essayez-la sur du bois dur ! — b]st-elle solidement fixée au manche? — Mais qu'attendez-vous pour commencer le travail?

— J'attends, monsieur, d'avoir analysé les propriétés du bois, de l'acier, d'avoir tout scruté au microscope, enfin d'avoir prouvé par raison raisonnante que j'ai le droit de donner le premier coup de maillet! » Ils meurent de vieillesse avant que se produise cet événement sensationnel !

Qui ne voit , dans nos manières opposées de considérer la Science et ses applications , deux philosophies en présence : l'une est celle de Bacon; l'autre, celle des métaphysiciens depuis qu'ils existent.

A Dieu ne plaise que je reproche aux métaphysiciens d'aimer la métaphysique : de bonne casse est bonne!

Mais le ridicule atteint les limites de l'impossible, quand les métaphysiciens se posent en hommes d'action. Immobiles comme des statues, les bras au corps, ils entonnent le grand final du troisième acte : « Marchons, courons, sans prendre haleine! Pas de cesse, pas de repos! Que l'action soit notre étendard, et le mouvement notre couche ! »

Retombons aux méthodes de ce Cours.

Vous entendrez les mathématiciens (dont je parle) pousser des cris de putois parce que, tranquillement, pour exposer la théorie des surfaces, j'utilise des méthodes générales dont je donne des explications plutôt que des démonstrations. Mais la masse des exemples proposés est telle, que si, au bout du volume, l'étudiant ne comprend pas de quoi il s'agit, je pourrai sans excès de prétention incriminer la lenteur de son esprit.

De même pour toutes les parties de ce Cours. Savez-vous le meilleur moyen de comprendre l'utilité et les allures réciproques des développées et des développantes? Ne cherchez pas trop; c'est avec des courbes en bois servant de développées, du fil et un crayon, de construire des développantes et par suite des courbes parallèles. (( Pouah! » fait le mathématicien (dont je parle); mais nous haussons les épaules.

514. Des classifications; échelle d'importance; vulgarisation.

/". — Les classifications ne peuvent être les mêmes pour les mathématiciens de métier et pour nous qui ne voulons considérer dans les mathématiques que l'outil.

Par exemple, je me suis bien gardé d'étudier les paraboloïdes et hyperboloïdes après les ellipsoïdes. Ils viennent tout naturellement comme exemples de surfaces réglées.

Pour nous, les procédés généraux d'obtention des courbes sont une base bien autrement utile de classification que le degré de l'équation représentative. Ainsi j'ai réuni aux §^ 138 et suivants un ensemble de courbes des degrés les plus divers, à cause de leur description mécanique identique ou analogue.

De même les cycloïdes , épi et hypocycloïdes sont étudiées par nous simultanément, bien que les unes soient transcendantes, les autres algébriques.

Je ne critique pas les classifications habituelles; elles répondent à d'autres besoins.

Il est naturel de classer les courbes d'après le degré de leurs équations (ponctuelle ou tangentielle) quand on attache aux solutions imaginaires la même importance qu'aux réelles. Mais si les quantités

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 39

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complexes comme outil ont pour nous une utilité considérable, les portions imaginaires des courbes n'en ont aucune. Il nous est pratiquement fort indifférent de savoir, par raison démonstrative a priori^ en combien de points réels ou imaginaires une droite coupe la courbe [ordre y degré de Téquation ponctuelle), ou combien de tangentes on lui peut mener d'un point extérieur (classe, degré de l'équation tangentielle) , ne serait-ce que pour Vexcellente raison que la plupart des courJjes rencontrées en Phi/sique sont transcendantes.

Môme, dans bien des cas, nous n'utilisuns qu'une faible partie de la courbe réelle, le reste demeurant dans l'ombre. Je citerai comme exemple classique la cubique de Van der Waals, dont les physiciens ne connaissent généralement que la portion correspondante aux valeurs positives des coordonnées.

^". — Il est naturel (jue, futurs physiciens et ingénieurs, nous attachions une importance particulière aux (|uestions que nous devons retrouver plus tard, et que nous les choisissions comme exercices pour illustrer les théories. Éviter à cette occasion de rappeler leur rôle, de les situer dans leur domaine d'jq^plication , est un préjugé imbécile sur la séparation des genres.

Au sujet de ma Mécanique, on m'a reproché de transformer mon lecteur en homme de tous les métiers, de vulgariser toutes les sciences, de feindre de tout savoir et de tout enseigner : c'est absurde. Quand j'expose la tliéorie du frottement, ne pas étudier l'adhérence, les rampes et les freins sous prétexte de ne pas mélanger les genres, c'est avoir une singulière idée de la science et de son rôle. Je vulgariserais si je prétendais donner de ces problèmes une idée nette en quelques phrases ronllantes, soi-disant lisibles sans aucune préparation antérieure. Mais je voudrais bien qu'on me cite un ouvrage contenant, sur les questions prati(}ues que je prends comme exemples, des renseignements plus précis que dans ma Mécanique, aux erreurs près reconnues inévitables dans un ouvrage aussi long.

Le lecteur sait quelle empreinte laissent les professeurs de Spéciales; il sait que la séparation des (jenres est le dogme essentiel de nos tortionnaires. Les supplices sont nettement distincts : d'abord le supplice de l'Algèbre , puis celui de la Géométrie strictement plane, puis... l'élève passe sur les chevalets dans un ordre immuable et consacré par l'expérience : celui qui abrutit le plus sûrement.

Généralisons cette conception anorthopédique : nous en arrivons à proscrire toute incursion dans le domaine amusant des applications et des réalités. Ceux qui violent la consigne sont des Vulgarisateurs. La moue des mathématiciens (dont je parle) mesure leur mépris pour une méthode qui choque aussi résolument leurs habitudes invétérées.

Dans les paragraphes précédents, nous avons cherché à carac-

EXEBCICES PRA TIQ UES E T M AMP U LA TIONS 6 1 1

tériser les procédés qu'on nous vantera comme le suprême de l'art. Laissons cela : voyons par quels exercices nous pourrons obtenir des progrès rapides chez nos élèves, futurs physiciens et ingénieurs.

C'est à eux-mêmes que je m'adresse : il est essentiel qu'ils comprennent les raisons de la discipline à laquelle on doit les soumettre. On n'exécute bien et avec plaisir que ce dont on conçoit l'utilité.