Nature des exercices et des démonstrations

/" — Il est entendu que je ne m'occupe ici que des futurs Physiciens et Ingénieurs. A la Faculté, l'enseignement mathématique doit rester double; il serait malheureux de ne pas maintenir partout le Cours de Calcul différentiel et intégral et les Cours de Mathématiques supérieures , avec leur formalisme et leurs recherches actuellement inutilisables.

A la vérité, c'est une question de savoir s'il ne serait pas avantageux pour les futurs mathématiciens eux-mêmes de commencer leur éducation comme les étudiants dont je m'occupe. Spécialement doués par hypothèse pour les recherches abstraites, ils auraient tôt fait de se mettre au courant des mathématiques utilitaires. Mais quelle que soit la solution qu'on donne à la question posée dans les paragraphes précédents, il importe peu pour notre but bien délimité actuel : il s'agit de déterminer à quelle discipline doivent être soumis ceux qui se destinent aux sciences expérimentales et à l'industrie.

5°. — Ce serait ne pas sortir de l'ornière que de bouleverser les programmes sans modifier l'esprit dans lequel ils sont enseignés. Par exemple, on s'était imaginé qu'en introduisant les intégrales dans les classes de Spéciales, ipso facto l'enseignement serait régénéré. Il a fallu déchanter; on s'est mis à bachoter les intégrales comme auparavant on bachotait les coniques.

Ne démontrons pas à nos élèves ce qui, à tort ou à raison, leur semble évident.

Ils prennent l'habitude de considérer comme mathématiquement nécessaire un discours que leur sens commun déclare entièrement superflu. Ils finissent par voir dans les démonstrations une sorte de liturgie qui ne saurait se dispenser de mots sonores : donc, par conséquent, or, car, en effet,... Ils ne retiennent souvent que ces motslà, et leurs par conséquent relient des propositions incohérentes.

Ils sont étonnés quand on leur présente les preuves les plus courvaincantes dans le style de la conversation ; ils vont alors jusqu'à douter s'ils doivent être convaincus, parce que Vappareil de la conviction manque. Rarement ils se haussent à cette vérité qu'une proposition de mathématiques est prouvée par les mêmes procédés que l'excellence d'une passe de football, que raisonner bien consiste à voir juste et non pas à mettre des syllogismes « en forme ».

Autant il est utile de les intéresser à la Logique formelle en son temps et par des exercices convenables , autant, ses méthodes une l'ois comprises, il est vain de s'embarrasser d'un bagage encombrant. Ce n'est pas la Lo(jique qu'il fallait supprimer des programmes : c'est l'esprit scolastique qui est la caricature de la Logique. Port-Koyal écrivait une admirable logique et s'insurgeait contre l'abus de cette science représenté par les Traités de Théologie morale. Logiquement parlant, nos mathématiciens n'ont rien à envier aux adversaires de Pascal.

3". — D'aucuns disent que ce qui paraît évident à nos élèves, ne l'est pas autant qu'ils le pensent ; il faut leur apprendre à se défier de cette habitude malsaine : user des mathématiques sans respect , comme un ouvrier d'un outil. Pour moi, je me délie du menuisier qui, ayant des planches à polir, ergote sur les propriétés de son rabot; je m'élève contre la manie de noyer les gens pour la gloire d'un sauvetage. Je conviens que c'est petitesse d'esprit; mais j'ai ouï parler d'un pauvre diable qui, à force de se demander comment il respirait, a fini par se détraquer le système nerveux et par mourir asphyxié.

Je connais des mathématiciens pour lescjuels les raisons de symétrie ne sont })lus convaincantes; j'en sais qui démontrent, par exemple, quun point attiré par un centre fixe décrit une courbe plane. Je ne discute pas s'ils ont raison ou tort; je demande qu'on ne les charge pas des étudiants qui m'occupent.

Je ne traiterai pas le raffinement dans les preuves d'occupation de mandarin , simplement parce que je considère qu'en soi il est utile et même indispensable. Mais le formalisme est un procédé de classement et non d'acquisition ; en tous cas, il n'est pas à sa place dans l'éducation des futurs Physiciens et Ingénieurs.

Je tenais à rappeler ces principes dans un Chapitre destiné à fixer la discipline à laquelle nous soumettrons nos élèves. En ces matières comme partout, il est essentiel d'éviter les confusions de concepts et les confusions mtéressée«.

516. Des expériences et des cas particuliers. /". — Tous ceux qui ont alîaireaux étudiants, savent que ce qui leur manque le plus est la compréhension des énoncés et des notions sur lesquelles ils portent. Au lieu de gâcher le temps de ses élèves sur les formules les moins usuelles de la trigonométrie appliquée à la résolution des triangles, un professeur intelligent leur fera tracer un cercle, un angle au centre, des lignes trigonométriques; leur fera mesurer au dixième de millimètre toutes les longueurs, calculer les sinus, cosinus, tangentes,... afin de comparer avec les résultats inscrits dans les tables. Une classe entière utilisée à cet exercice sera plus utilement employée qu'à démontrer que les lignes trigonométriques s'expriment rationnellement en fonction de la tangente de la moitié de l'arc, et autres propositions du même intérêt.

;^°. — Pour éclaircir le sens des énoncés, le procédé le meilleur est l'étude des cas particuliers. En vérifiant une proposition générale sur des exemples simples, sa démonstration se construit automatiquement dans Tesprit. On finit par découvrir, sans secours étranger, sinon la suite logique des syllogismes nécessaires à son établissement formel, du moins ses raisons profondes d'exister.

Mais il est entendu que les cas particuliers doivent être étudiés, non comme une fin, mais comme des cas particuliers. User des mois sur les liyperboloïdes et les paraboloïdes sous prétexte que ce sont des cas simples de surfaces réglées, démontrer une foule de propositions qui leur sont particulières, ce n'est pas du tout se conformer au principe que nous posons. Qu'on ouvre les géométries analytiques pour les étudiants, on y verra démontré au long que toute tangente à l'ellipse de gorge est la projection de deux systèmes de droites situées sur un hyperboloïde à une nappe. Je ne vois que des avantages à ce que l'étudiant vérifie cette proposition comme exercice, pourvu qu'on le prévienne qu'il s'agit là d'un cas infiniment particulier d'une proposition générale (§ 401).

On parle toujours de laisser aux étudiants des « idées générales » ; c'est possible par la méthode que j'indique. Contentons -nous le plus souvent d'énoncer la proposition générale; mais qu'une série d'exemples en fixe exactement le sens dans l'esprit de nos élèves.