Exercices numériques. Tables

1". — On ne saurait trop le répéter : les exercices doivent être numériques. Les lettres ne sont que pour remplacer les nombres , dans la pratique, ce sont les nombres qu'on rencontre; pour préciser le sens des théorèmes, il faut calculer sur des nombres.

Actuellement le mépris du calcul est général chez les professeurs et chez les élèves. Les compositions de calcul qu'on introduit dans les examens, ne servent (ju'à prouver la nullité absolue des candidats. (Comment peut-on s'imaginer qu'après leur avoir dicté des Cours où l'on ne se préoccupe jamais des valeurs numériques des fonctions, on réagira en quelques séances contre une déformation systématiquement acquise ? Présentez les Mathématiques d'une certaine manière tout le long de votre Cours : vos élèves ne répugneront plus aux calculs numériques.

Au baccalauréat, même lorsque l'énoncé contient des nombres, même lorsqu'on prévient de l'importance attachée au résultat numérique, on rencontre la phrase traditionnelle : « 11 suftit

maintenant de calculer », comme si ce calcul n'était pas tout le problème.

Quand le résultat est 10,5 par exemple, les candidats s'étonnent qu'on inflige une plus mauvaise note à qui trouve 105 qu'à qui trouve 10. La virgule pour eux n'a pas d'importance; ils méprisent avec encore plus de conviction les signes, généralement laissés au hasard.*

C'est une coutume ausurde de donner un problème sur des lettres avec une application numérique. Les problèmes numériques se traitent sur les nombres. Comment habituer les élèves aux ordres de grandeur, les forcer à réfléchir sur les résultats intermédiaires et leur bien fondé, si on transforme le problème numérique en une pure opération machinale ? Je sais que je renverse les idées reçues ; d'être reçues ne prouve pas qu'elles aient le sens commun.

^''. — Pour exercer sans ennui les élèves au calcul, il ne faut pas les rebuter par de trop nombreuses opérations arithmétiques. Calculer ne consiste pas seulement à multiplier, à diviser, à additionner, à soustraire. Il va de soi que la technique de ces opérations est indispensable ; mais dès qu'on la connaît (ce qui est rapide), on n'apprendra rien de plus en recommençant indéfiniment : on ne se mouche pas mieux à cent ans qu'a dix.

Il faut que l'exercice de calcul soit un véritable problème à résoudre, intéressant en lui-même et mettant simultanément à contribution tous les genres de calculs et de vérifications numériques. Rien n'est odieux comme le soi-disant exercice de calcul qui consiste à utiliser une table de logarithmes, au commandement, de dix heures à onze heures, un certain nombre de fois pendant l'année. C'est odieux et bête. L'exercice de calcul n'existe pas en soi : la séparation conventionnelle à laquelle les examens de l'Ecole Polytechnique nous font assister, est purement et simplement grotesque.

Tout problème , de quelque nature qu'il soit , doit comprendre une vérification numérique qu'il faut habituer l'élève à juger capitale. Il finira par regarder V opération proprement dite, non pas comme une fin, mais comme un moyen. Au bout de quelques semaines, ses tables lui deviendront familières. Pour assurer une discussion de courbe, il n'hésitera pas (ce que nous faisons tous dans nos laboratoires) à en calculer un certain nombre de points. Que d'erreurs ainsi évitées ! que de raisonnements remis brutalement sur leurs pattes grâce au résultat du calcul ! Le véritable et fructueux exercice commence là où finit notre exercice de calcul traditionnel, que je compare aux gestes d'un maniaque qui, pour s'entraîner aux courses de montagne, fait du footing en rond autour du guéridon de sa chambre.

3". — Pour réaliser l'exercice intéressant, il faut donc faciliter et

abréger les opérations proprement dites; on doit fournir à 1 étudiant des tables numériques.

Au premier rang sont les tables de carrés, cubes , racines carrées ^ racines cubiques, inverses de 1 /) 10 ()()(). Je ne connais que les excellentes tables de Barlow (Spon, Londres).

Au second rang, les tables des li(/nrs frif/onométriques naturelles de minute en minute; on en trouve chez Baudouin, Paris. Comme les Pliysiciens n'ont pas encore admis et n'admettront pas de longtemps la division centésimale du quadrant, les calculs se feront ordinairement dans le système sexagésimal.

En troisième lieu, les tables de logarithmes. Celles à cinq décimales sufïîsent; mais elles doivent contenir les tables de réduction des deqrés en arcs, les lofjaritlimes naturels de 1 à 1 000, les multiples du module et de l'inverse du module.

Il devrait exister des tables des fonctions usuelles dont les excellentes Smit/isonian Tables donnent un exemple. En seize pages elles fournissent sur plusieurs fonctions des renseignements numériques précieux. Je donne dans cet ouvrage des tables abrégées, suilisantes au moins pour fixer les idées. Mais de bonnes tables étendues seraient fort utiles. 11 existe des tables françaises parfaitement illisibles et construites dans l'esprit le plus opposé à celui que je défends. On y trouve, par exemple, une table abrét/ée pour le calcul des logarithmes vulgaires à 15 et 20 décimales ! La Société de Physi({ue devrait s'occuper d'une telle publication ; mais je doute qu'elle en comprenne le sens et l'utilité.

4". — Les calculs doivent être poussés jusqu'à un certain point toujours le même. Il est dilïicile d'obtenir des étudiants une approximation déterminée ; ils mettrt)nt aussi bien vingt chilTres signilicatifs que deux. Tel élève qui pose sans hésiter 6; 5 = 1, commettant délibérément une erreur de 1^5, écrira à la ligne suivante un quotient avec quinze chilfres significatifs. Il ne s'agit pas de discuter à chaque instant l'erreur exacte que l'on commet; il s'agit de se fixer au début une approximation relative (1 ; 1000 par exemple), et de faire en sorte qu'elle se maintienne. Que, pour être sûr du résultat au millième près, on pousse un peu trop loin l'approximation dans les calculs intermédiaires (surtout s'ils sont nombreux), c'est une précaution à quoi je ne vois rien à blâmer. Elle vaut beaucoup mieux que de discutailler sur le point exact auquel il faut s'arrêter; dans une question pratique, c'est l'économie de temps qu'il faut chercher; on l'obtient plus sûrement par un excès de précision que par des discussions oiseuses.

On exigera donc quatre chiffres significatifs, rarement plus, simplement parce que lejs expériences précises sont au millième; en conservant quatre chiffres, on est sûr d'être au delà de la précision requise.

EXERCICES PRA TIQ UES E F MA MP ULA Tl OXS 61 7

Le 0 a une importance que les étudiants admettent difficilement. Il ne revient pas au même d'écrire 25,00, ou d'écrire 25. Tous les Physiciens et Ingénieurs comprennent que, dans le premier cas, on affirme une approximation de 1 ;2500; dans le second, une approximation de 1 ; 25.

Une autre erreur consiste à donner de l'importance, non pas au nombre des chiffres significatifs, mais au nombre des chiffres qui suivent la virgule. Il est pourtant manifeste que l'erreur i^elative , la seule qui nous intéresse, ne dépend pas de la place de la virgule.