Notion de limite, position limite

Soit une courbe dont les points sont repérés par la distance (JA = 5, k un point 0 pris pour origine. Ce sera, si l'on veut, le rail

d'une voie ferrée dont les dimensions transversales sont indéfiniment réduites ; les points de ce rail sont repérés parleur dislance à un point 0, distance mesurée sur le rail même. Un mobile se déplace Fig. 3. sur la coi^be avec une vitesse

variable. Nous nous proposons de définir la direction et la grandeur de la vitesse à chaque instant, et par conséquent en chaque fK)int A. Nous admettrons, (personne ne mettra le fait en doute), que le mobile possède à chaque instant une vitesse de grandeur et de direction parfaitement déterminées.

Considérons un point B voisin du point A, situé à une distance \s du point A. Le symbole d'accroissement A signifie que pour obtenir le point B à partir du point A, il faut ajouter, à la grandeur s qui caractérise le point A, un accroissement, une différence as. Le mobile qui passe en A au temps t, passe en B au temps i -\- A<.

La vitesse du mobile entre les temps t et ^-|-A^, ou encore entre les positions set s-\-\s, a une direction qui n'est pas exactement

AB et qui varie d'un instant à l'autre. Mais la corde AB a une direction qui, elle, est parfaitement déterminée dès que nous avons fixé le point B. D'autre part, nous pouvons admettre que la direction vraie de la vitesse au point A s'approche d'autant plus d'être la direction AB que B est plus voisin de A. Le problème consiste donc à déterminer cette direction quand le point B s'approche indéfiniment de A; par définition, c'est la limite de la direction AB.

Nous rencontrons ici une première application des considérations générales qui précèdent. S'il s'agit d'une courbe expérimentale réellement tracée, le problème n'a pas de solution précise. On sait l'impossibilité de fixer la direction d'une sécante quand les points d'intersection avec la courbe sont très rapprochés, ne serait-ce qu'à cause de l'épaisseur du trait. Mais les mathématiques fournissent des courbes idéales, sans épaisseur , dont les courbes réelles ne sont que la représentation grossière et dont les points sont définis par une propriété rigoureusement déterminée. Sur ces courbes nous faisons non pas une construction graphique, mais un raisonnement. Si la courbe expérimentale peut être assimilée à la courbe idéale (à l'approximation des expériences), notre raisonnement vaudra pour la courbe réelle à la même approximation.

Voici deux exemples qui montreront comment, de la définition géométrique des courbes, il est possible de tirer la position limite de la sécante.