Détermination de la tangente à une courbe

/". — Traçons une courbe [[\\^. 4) lieu des points également distants d'un point fixe 0 : c'est un cercle. Soit une sécante AB. Considérons le triangle isoscèle OAB ; nous avons les relations :

r^ri(/e/7/e

L'angle ^3 est donc parfaitement déterminé pour toutes les positions de B, si rapprochées qu'on les suppose de A, pourvu que B reste distinct de A. Evidemment le triangle disparaît, et par suite tout raisonnement sur Vangle (3 devient impossible , quand B coïncide avec A. Déterminer la valeur limite de [3, et conséquemment la position limite de la sécante [qui par définition deviendra tamjente) , c'est poser que nous avons le droit de poursuivre notre raisonnement jusqu'aux valeurs évanouissantes de la distance AB ; c'est extrapoler par continuité hors du champ où 3 est effectivement mesurable. Pour obtenir un résultat, nous considérons donc la distance AB , ou, ce

qui revient au même, Fangle a, non pas comme très petits, mais comme diminuant indéfiniment jusqu'à s'annuler. Nous admettons comme exact pour a = 0, ce qui est de plus en plus approché lorsque a diminue jusqu'au moment de s'annuler.

Quand a s'annule, les relations (1) demeurant vraies si petit que soit a et, par suite de koïre hypothèse, demeurant vraies pour oc = i), {, devient alors droit. D'où la conclusion : la limite de la position de la sécante [qui devient tanqente par définition) est normale au rayon. On voit l'avantage du théorème. Supposons vm cercle réellement tracé à l'aide d'un compas. Pour déterminer la tangente, nous nous garderons de mener une sécante dont les points d'intersection avec

le cercle soient très rapprochés. Nous utiliserons notre théorème ; nous construirons une normale à l'extrémité du rayon, ce qui est une opération très précise. Voilà comment l'étude d'un cas idéal amène à un résultat éminemment pratique.

Raisonnant sur le cercle sans épaisseur , y. . n'utilisant les figures

(jue pour concrétiser les raisonnements, nous parvenons à des résultats applicables à nos rej)résentations grossières.

t^°. — Voici un exemple plus compliqué (fig. .'i cl «>).

Soit une courbe lieu des points dont la somme des distances Âl^' + KF à deux points fixes F et F' (foyers) est constante et égale à '2a :

c'est une ellipse.

Tracions la sécante AB.

Construisons les triangles isoscèles AFC, AF'D. On trouve aisément : BC = BD.

Cherchons vers quelle forme tend la figure quand B se rapproche de A. D'après le /", FG tendant vers FA, F'D tendant vers FA, les angles oc et ^ tendent à devenir droits ; les droites AC et AD tendent à devenir perpendiculaires respectivement sur FA et F'A (fig. 6).

La condition BC=:BD subsiste, si petite que soit la distance AB.

Donc la sécante tend vers une position telle que Tun de ses points se trouve à égale distance des positions limites des droites AG et AD ; elle tend donc à être bissectrice de ces positions limites et par suite bissectrice extérieure des droites fixes FA et F'A qui leur deviennent perpendiculaires. D'où le théorème : la tangente à une ellipse au point A bissecte Vangle des droites qui le joignent aux foyers.

Insistons sur l'hypothèse de la continuité qui est à la base de tous nos raisonnements. Le résultat ne devient exact qvnà par extrapolation, juste au moment où toute conclusion directe devient impossible. C'est un paradoxe dont il serait vain d'atténuer l'étrangeté.

Une droite qui passe par deux points A et B confondus n'est pas déterminée: c'est évident. Mais si la confusion s'opère après que nous avons défini la direction suivant laquelle le point B s'approche du point A, la direction limite reste définie, à la condition qu'elle ne change pas brusquement au dernier moment, c'est-à-dire à condition qu'il y ait continuité.