Propriétés des angles d'un triangle

'jo. — Soit AlU^ un triangle (|uelc()n(pie, dont les côtés sont

a^ b, c , et les hauteurs correspondantes 3t, [i, Y (fîg. o2).

i\ — On a :

a = b sin C = c sin B ;

d'où :

sin C sin B sin A ,,.

'C par analogie.

Les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

^\ — On a : a^AcosG-j-ccosB,

j6 = ccos A-|-acosG, (II)

c = a cos B -J- /> cos A.

Ces relations expriment que, par exemple, le côté a est égal à la somme des projections des côtés A et c sur le côté a.

Fig. 52.

APPLICATIONS DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES 95

S"". — Dans [la première relation, remplaçons cosG et cos B par leurs valeurs tirées des deux autres. Il vient :

b — ccosA , c — bcosA

a2=.^2 j c2 2/,ccosA, et par analogie : /)2 __ ^s j ^^2 — 2ca cos B, (Hn

c'^ = a'^^h'~ — 2ab cos C, 4\ — Posons : 2p = a-\-b~{-c.

On tire de la première équation (III) :

^ — cos A ^ [a-{-b — c){a~b + c) ^ {p — b){p — c) 2 ~ ^bc jjc '

1 4-cosA ^ {b^c-\-a){b-\-c~a) __p[p — a) 2 " kbc ~ bc

D'où (§ 48, S^) :

et quatre autres formules par analogie.