Faisceaux de cercles admettant le même axe radical

/". — Soit D = 0, l'équation de la droite qu'on impose comme axe radical; soit S = 0, l'équation d'un des cercles. Tous les autres ont une équation de la forme :

S+aD = 0,

où X est un paramètre arbitraire. En effet, prenons deux d'entre eux :

S + XiD:=0, S + A2D=:0.

Leur axe radical a pour équation :

(S + XiD)-(S + X,D).= (Xi-A2)D-:0, qui représente la droite donnée 0 = 0, puisque Xi diffère de Xa.

Cours de Mathématiques générales. H. Douasse. °

:^°. Prenons Taxe radical pour axe Oy [x = i)), et (§ 88, /' la ligne des centres pour axe des x; l'équation des cercles du faisceau peut d'abord être de la forme (fig. 60 à gauche , cercles en pointillé de la figure 66) :

Nous pouvons écrire cette équation :

ix+\Y-\-y^ — r-+s^-=:0.

11 existe deux cercles qui se réduisent à des points (cercles évanouissants, points limites A et B de la ligure 66); ils sont donnés par les conditions :

Pour que les cercles soient réels, la valeur absolue de a doit être supérieure k s. Pour X^^hoc, on obtient l'axe radical lui-même.

Les deux points d'intersection des cercles entre eux et avec leur axe radical sont imaginaires ; ils ont pour coordonnées :

S". — Si nous prenons l'équation des cercles du faisceau sous la forme (iig. 65 à droite) :

x'- + // ' + 2Xx — 52 — 0 ,

les points limites sont imaginaires, mais les deux points d'intersection des cercles entre eux et avec leur axe radical sont réels; ils ont pour coordonnées :

x = 0, y =z-hs.

90. Lieu des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport donné

i". Soient (k'ux pt)inls A et H, pris sur l'axe Ox et dont les abscisses sont ih*- Cherchons le lieu des points de coordonnées x, y. tels que le rapport de leurs distances à ces points fixes soit constant :

,^ y[+\^ + 'll z=Gonstante. (1)

Cette condition est satisfaite si l'on a :

où X est un paramètre variable. Substituant dans (l), il vient :

Le faisceau des cercles (1) (représenté en pointillé dans la fig. 66) admet 0;/ comme axe radical. Chaque cercle est caractérisé par un rapport p déterminé. On vérifiera que la valeur absolue de X restant comprise entre s et l'infini, z prend telle valeur qu'on désire.

CERCLE. DÉVELOPPÉE ET DÉVELOPPANTES

2\ — Faisceau des cercles normaux aux précédents. Ils rentrent dans la formule :

Ces cercles admettent Ox comme axe radical. Mais tandis que l'axe radical du fai- yt

sceau (I) coupe les cercles en des points imaginaires :

Taxe radical du faisceau (II) coupe les cercles en des points réels :

2/ = 0 , x=.±\ls^ .

Les cercles II passent tous par A et B.

S°. — Démontrons qu'un cercle quelconque de l'un des faisceaux coupe orthogonalement un cercle quelconque de l'autre faisceau.

Pour que deux cercles se coupent à angle droit, il doit exister entre leurs rayons r^ et r^^ et la distance d de leurs centres, la relation : r\-\-rl=^d^.

Or (§ 83) on a pour le faisceau (1) : r^ = \/X^ — *^ pour le faisceau (II) : r^ = \J])?--\-s^

Les coordonnées du centre sont pour le faisceau (I) : y =r 0, x=z\.

Les coordonnées du centre sont pour le faisceau (II)

d'où : d^ = X^-^^^j}.

La condition (2) est donc satisfaite.

Fig. 66.

Cercle osculateur; rayon de courbure,