Puissance d'un point par rapport à un cercle

On appellf j)uissaiu'e d un point B par rapport à un cercle, le produit (lig. O'i :

ir = BÂ=^^-=BP . BQ.

Mais on a : BÂ' = BC^'— r^

\V-^{x--af--^[y — by — r\

Pour trouver la puissance , on substitue donc les coordonnées du

point B dans l'équation du cercle mise sous la forme 8^=0, et où

les coellicients (toujours éji^aux ) de x^- et //- sont supposés égaux à

l'unité.

88. Axe radical de deux circonférences; corde d'intersection.

/*'. — Cherchons le lieu des points P dont la puissance est la môme par rapport aux deux circonférences :

Sj z=x- -\- y- — 2a^ — 2h^ -[- Ca = 0. D'après le paragraphe précédent, il faut écrire :

S, = Sa, 2x(<r, — a,) -f 2y[b., — /),) — ^c, — c,) ^ 0 ;

X ci y sont les coordonnées d'un point du lieu cherché.

Ce lieu est donc une droite qu'on appelle axe radical.

Il est évident que l'axe radical est normal à la ligne des centres. La pente de cette dernière ligne est p=zz[b^-~ bi) [ [a^ — aj) , tandis que, d'après l'équation précédente, la pente de Taxe radical est p' = — (a.2 — â, : iJk — ■/),*, on a bien pp' ^= — ^ (§ 24^1.

CERCLE. DÉVELOPPÉE ET DÉVELOPPANTES

:^^ — Quand les cercles se coupent (fig. 65, à droite), l'axe radical coïncide évidemment avec la corde d'intersection.

Prenons la question d'une manière plus générale. Les points d'intersection des deux courbes quelconques Si = 0 , Sa = 0 satisfont

simultanément à ces équations. Ils satisfont donc à l'équation Si — Ss^O. Autrement dit, les trois courbes Si=:0, Sg^O, Si — -S2 = 0, ont les mêmes points d'intersection.

Dans le cas particulier des cercles , la courbe S^ — Sg = 0 , est une droite : donc c'est la corde d'intersection.

Le même raisonnement étant valable dans tous les cas, on est conduit à dire que l'axe radical est toujours la corde d'intersection; mais les points d'intersection peuvent être réels ou imaginaires (fig. 65, à gauche).