Autre manière de calculer le rayon de courbure

j\ — Soit G le centre de courbure; soit A, D, deux points voisins distants de l'arc ds (fig. 67).

Menons les normales en A et D; elles se coupent nécessairement au point G puisque le cercle se confond avec la courbe au voisinage du point A. Soit £ l'angle de ces normales; on a :

ps^=ds.

Menons les tangentes en A et en D; elles font avec l'axe des x des' angles a et (i. On a évidemment : £ = a — jS.

Or : igoL = y\ a=:arctgî/'.

£ est (au signe près) la variation de a quand on passe du pomt A au point D ; on a (au signe près) :

Sr=C?Otr=:c/arctgî/'.

. Eflectuons l'opération indiquée (§ 60) :

E^=d arctg y' = y"dx !(!-[" H"^) 5

J arctg ur=-^-p^,

ds

dx

p=— =±— vi+y

C'est le résultat du paragraphe précédent. La quantité p n'est déterminée qu'au signe près :

nous pouvons convenir de la prendre toujours positivement ; nous verrons plus loin (§ 93) comment on détermine le côté de la courbe où se trouve le centre de courbure.

^°. — La même méthode donne facilement l'expression du rayon de courbure en coordonnées polaires. Reprenons les notations du § 80.

Il s'agit d'évaluer l'angle que font entre elles les tangentes en deux points voisins A et D (lîg. 68).

En coordonnées polaires, on détermine d'al)ord l'angle a avec le rayon vecteur qui rsl vnrialAe ; d'où une très légère complication. On a, dans le (juadrilatère ODHA :

Fig. tiS.

Mais : tga=:-^, dx = d HTci^-jp = d . arctg|^r . ^J.

Effectuons la dilVérentiation indiquée

da

D'où

ds da-{- Je

["Hiïfl

5**. — Nous utiliserons fréquemment la proposition suivante : Soit un cercle de centre G et sa tangente en 0 (fig. 69). On a :