Développée, développantes. Courbes parallèles
On appelle développée d'une courbe le lieu des centres de courbure qui correspondent aux différents points de cette courbe. Étudions les relations qui existent entre la développée d'une courbe et cette courbe qu'on appelle développante :
/°. — Reprenons l'équation :
dx
Elle signifie que le point a, centre de courbure de la courbe I au
Fig. 71.
point A, et dont les coordonnées sont a, j6, est sur la normale menée à 1 par le point A de coordonnées a?, y (fig. 71).
Écrivons la même relation pour le point B de coordonnées a;-]-c?x, y-\-dy^ et pour le point (3, centre de courbure correspondant, de coordonnées a-|-c/a, b-\-db.
Prenons x pour variable ; dérivons par rapport à x tous les termes de l'équation (1) qui est identiquement satisfaite :
da , / dy dh dx ~^\dx dx
Tenons compte de la relation (4) du § 91 : substituons au dernier terme du premier membre sa valeur; simplifions. Il reste :
Cette relation signifie que la tangente à la développée est la normale à la développante.
^°. — Evaluons la variation du rayon de courbure. On a :
(x - a) {dx — da) -f (y — b) {dy — Jb)
Mais des relations (i) et (3) on tire :
da ~~^^F~' Remplaçons x — a et ;/ — b par les quantités proportionnelles da et db. Utilisons la relation (3); il reste :
d^=\ld^-î^'dl^, Ai = ^-\-'^B.
La variation du rayon de courbure est précisément égale à l'arc de la développée.
;^\ — Tracé de la développante a partir di: la développée. — Un fil (\st attaché au point il et s'enroule sur la développée. A partir du point a où il quitte la courbe, il suit la direction a A de la tangente à cette courbe au point a. Prenons une longneur de fil QM, telle que le point M appartienne à la développante. Quand le fil s'enroule sur la développée, son extrémité décrit la développante.
Nous exprimons ainsi que la variation du rayon de courbure est égale à l'arc de développée.
4°. — Courbes parallèles. — Prenons sur le fil des longueurs différentes : par exemple, coupons-le en M'. Son extrémité décrit la courbe M'A'IVC A une développée correspondent donc une infinité de développantes qui ont les mêmes normales; les points de deux développantes respectivement situés sur les normales communes sont à une distance invariable. Les courbes sont dites parallèles.
On a en effet : MM' =:= ÂÂ? = BF -= CC.
5°. — Toute développante coupe orthogonalement la développée, puisque la tangente à la développée est normale à la développante. C'est ce qui arrive aux points D et C. Pour obtenir la suite de la développante, on enroule un lil sur le reste de la développée. S'il est attaché en Q' et de longueur Q'N, il permettra de décrire Parc DN de développante.
Au point D, les deux arcs de développante sont tous deux normaux à la développée et, par conséquent, tangents entre eux : la développante présente un point dit de rebroussement.
CERCLE. DÉVELOPPÉE ET DÉVELOPPANTES
