Concavité, convexité d'une courbe. Inflexion
On appelle concavité d'une courbe au voisinage d'un point A de cette courbe, le côté de la courbe où se trouve le centre G du cercle osculateur, autrement dit, le centre de courbure correspondant au point A.
On appelle convexité le côté de la courbe où ne se trouve pas le centre de courbure.
On dit que la courbe présente une inflexion au point P quand le rayon de courbure correspondant au point P est infini. Le petit arc de courbe voisin de P est assimilable à un élément de droite; on
peut dire que le centre de courbure est sur la normale à cet élément, à l'infini et arbitrairement d'un côté ou de l'autre de la droite.
Il est facile de reconnaître de quel côté de la normale est le centre de courbure (fîg. 70).
Au point A de la courbe, menons la tangente AD et la normale AF. Le quotient y' z=dy ', dx est proportionnel à tg oc, mesure tg a, quelles que soient les échelles pour les abscisses et les ordonnées.
On sait de plus que la tangente varie toujours dans le même sens que l'arc {§ 58). Ceci posé, pour que la courbe ait la forme repré-
Fig. 70.
sentée, c'est-à-dire pour que le centre de courbure soit du côté AF de la courbe, il faut que la tangente BE au point B soit plus horizontale que la tangente au point A. Il faut donc que pour c/j:7>>0, on ait c/a <; 0 , par suite , (/ tg a <; ^^ dy' == y"dx << 0 , ?/" <C 0 . D'où la règle :
L'ordonnée du centre de courbure est inférieure à l'ordonnée du point correspondant de la courbure^ si ?/"<<0; elle est supérieure, si i/">>0. On vérifiera que la règle est la même quand a est supérieur à -TU ; 2.
Il y a inflexion si ?/" = 0 (|:^ 18).
Le lecteur comparera le résultat à celui qu'expriment les formules (6) du § î)l . 11 n'oubliera pas qu'implicitement on suppose ici les arcs comptés sur la courbe positivement dans le sens des x croissants.
94. Variation des rayons de courbure et des pentes avec les changements d'échelle.
/". — Quand les Physiciens représentent leurs expériences, ils utilisent rarement les mêmes échelles sur les deux axes. Cherchons comment les pentes et les rayons de courbure dépendent de ces échelles.
Nous avons entre les variables ;, v), une relation /'{^, r^) = 0. Pour la représenter, nous utilisons des coordonnées dont les longueurs sont :
x- m;, y = nr,.
Changer les échelles, c'est changer les nombres m et n. Par exemj)le, si au lieu du millimètre nous prenons pour unité le centimètre, nous multiplions par 10 les deux nombres m et n. Si l'imité est le centimètre pour l'axe des x, le millimètre pour l'axe des î/, nous avons la relation ni ; /i — 10.
i?°. — La pente de la courbe tracée est :
dy n dr, n ,
dx m dz m ' *
Comme r/ est donnée, nous concluons que la pente est proportionnelle à l'unité prise sur Oy, en raison inverse de l'unité prise sur Oj^. Elle reste la même si les deux nombres n et m sont multipliés par le même nombre (Cf. § 51, ^**).
S°. — Le rayon de courbure de la courbe tracée est au signe près :
On a en effet :
d'y rfx»
dy
dx
dx
dx'^
CERCLE. DÉVELOPPÉE ET DÉVELOPPANTES
Multiplier par le même facteur les nombres n et m, c'est multiplier p par ce nombre; par exemple, si on double les échelles, le rayon de courbure est partout multiplié par deux. D'une manière générale, la modification du rayon de courbure dépend de la pente au point considéré.
Développée, développantes.
