Développées des lignes trigonométriques
/' . — Développé!-: de la sinusoïde.
11 résulte d'abord du paragraphe précédent que la développée possède un point de rebroussemcnt sur les ordonnées des maximums B ou des minimums D de la sinusoïde [i\^. 74).
Calculons le rayon de courbure correspondant ; pour donner plus de généralité à notre résultat, prenons la sinusoïde sous la forme :
sm
CERCLE. DÉVELOPPÉE ET DÉVELOPPANTES
î/o est l'ordonnée maxima, X est la longueur de la période évaluée en espace; X =:AE. On tire immédiatement de (1) :
r^±[i+ - / cos^ -^J . l~^^p sm 2. -^J.
Le rayon de courbure minimum a pour valeur : x = -î-j r=^— ^ — = BB'.
Le rayon de courbure devient infini, la sinusoïde a une inflexion pour les points A, G, E, ...; ils correspondent à x = k'k', 2, où k est un entier quelconque. La développée admet les normales en ces points comme asymptotes.
La figure 74 montre la forme de la courbe.
S\ — Développée
DE LA TANGENTOÏDE.
Nous ne calculerons pas la valeur du rayon de courbure ; nous nous contenterons d'établir l'allure de la développée (fig. 75).
La tangentoïde a une inflexion en A,
Fig. 75.
pour un arc nul; la normale correspondante est une asymptote de la développée. La courbure de la tangentoïde, nulle en A, croît et atteint son maximum en G. Sur la normale en ce point est le rebroussement de la développée. Enfin la courbure recommence à décroître et tend vers 0 quand l'arc tend vers :: ; 2. L'arc correspondant CE' de la développée est donc une branche infinie, dont, à la limite, la direction est parallèle à \x. Elle n'admet pas d'asymptote.
