ha/î fi — a .^ (fi — a)t' (fi — a

et, en ditTérenliant la seconde identité,

, ^(fi — a)/ ,, ,, , dx ^ dt

flr — i^-iJ —al don — ^=. — 2 ■

ax— -^j^^,^,a', aou ^ -j^^2

Ces formules résolvent la question.

Ileniarquc. — En écrivant y =^ {x — ^)\/- , on voit qu'on aune

différentielle rationnelle en x et y/*^ . On pourrait donc, d'après

le numéro 312, poser /= \ / "^ . Mais c'estprécisémentle changement

de variables qu'expriment les formules (2) et (3).

dx

Exemple. — Prenons, comme exemple simple, / •

Ici, y:=\(x+D(l — •^)- Nous poserons ' = V/ -n -j • Nous avons remarqué

que ^^ = — 2 T-j-jî • L'intégrale devient donc — 2 / . ^ = — 2 Arc {^l -\- c, de sorte que nous trouvons

r-^ = -2Arctg./i^ + c.

INTKGRALKS INDÉFINIES 29

Reste à vérifier que ce résultat est équivalent nu résultat connu

dx

/dx

= Arc sin j -(- c\

Posons, en effet, x = cos? et supposons 0 ^ 9 ^ tt. Nous avons Arcsinx = ^ — ç. D'autre part :

i+x l+cosa °2 "='Vx-t-l 2

Donc

- 2 Arc igy/i^ = - -p = Arc sinx - ^, (C. Q. F. D.)

Remarque. — On ramène aux intégrales précédentes les intégrales de la forme :

/ R(ar, 'Jax-\- h, yja'x -^ fj')dx,

où R désigne toujours une fonction rationnelle de ses arguments.

Si on pose, en effet, va^ -\- b=:u, x:= , on tire

a' X -j- b' = — (il- — b)-hb'.

Donc R devient fonction rationnelle de u et d'un radical du second degré en u; et dx est rationnel en u :

j 'lu du dx=