TYPES DE DIFFÉRENTIELLES TRANSCENDANTES INTÉGHABLES
315. Applications de rintégration par parties. — L'intégration par parties s'applique à un certain nombre de types de différentielles transcendantes, que nous allons passer en revue.
/" type. f^{x) logxdx, où H(x) est un pohjnôme entier en x.
Posons î/ = logx, }\{x)dxz=zdv. La fonction v = Jtt{x)dx est un
polynôme qui se calcule immédiatement. On a alors, puisque auz= —
l{{x)\ogxdx=v\ogx — / y — '
et - est un polynôme, car on peut prendre v sans terme constant.
L'intégration s'achève donc sans difficulté.
/x* rx^ dx X* , 3^* I
x^ logxdx = -^ logx — / -j- — = y logx — jg + c.
30 INTBGRALES INDEFINIES
.2*^ type. fli{^)e'"dx, où ll(.r) est un polynôme entier en x.
En posant u ^tt{x), do = e"^dx, donc c^=-e"', rinlégration par parties abaisse le degré de tt{x). On obtient
fn (a-) e'''dx = ^ Il (ar) e'" — ^ fii'{x) e"^ dx.
La même formule, appliquée successivement à H'(x), U"{x), ..., donne
— ^l\l'{x] e'" dx = — ^, H' {x) e"' 4- ^, ^ /'h" (a^) C'rfx,
(-l)"-'-^j'H"-'(x)e-rfx=^-l)'-'^.H"-'(T)e--
Si n est le degré de II (a:), H''(j?) est une constante; et on peut écrire encore :
(- 1 )» ^„ J'h " ix) e- c?x = (- 1 )» ^, H " (x) e"'.
En ajoutant terme à terme toutes ces identités, les intégrales fw'e-ulx, f\\"e"^dx, ...,
se détruisent dans les deux membres, et il reste,
(1) /H(.)."<(. = ^(H-ïï- + |...+(lr'l,)+o.
Exemple. f x^e'dx = x^e^ — 3 1 x-e^dx
— 3 / x-e'dr = — 3xîe^ + 6 j xe^dx
6 / xc^ dr = 6xe^ — G I e^dx = 6xe '^ — 6e* -\- c
d'où
fx^e^ dj- = eMo?^ — 3x2 + 6x — 6) + c.
3*^ type. f }\{x) cosaxdx, et 1 l\{x) sxnaxdx, où H esl un polynôme. En posant u = H(x) et dv = cosaxdx pour la première, on obtient
(2) l{'x}cosaxdx:=\i!x) H'{x)s\naxdx.
INTEGRALES INDEFINIES 81
De même, pour la seconde, avec ii=:H{x) et dv =z sin ax dx , on obtient
(|{) I ll{x)s\i\axdx = — \i{x) h- li{x)cosaxdx.
Chacune de ces opérations abaisse le degré du polynôme sous le signe / , et fait passer d'une intégrale de l'un des types considérés à une intégrale de l'autre type. Au bout de n opérations, si n est le
cosaxdx = '■ h 0, ou à
sinax ax=: — h r ; et 1 intégration sera achevée.
Exemple. j x- sinxdx = — x- cos x -f 2 j x cos x dx
2 / j~cos.rAr ^ 2j; sin.r — 2 j i\nxdx^=2x %\nx -{-Icosx -\- c. Donc, en ajoutant,
/ X- sinxdx = (2 — x^ cosx + 2x sinx + c.
Remarque. — On peut ramener ce troisième type au précédent, en employant les exponentielles imaginaires. En cliangeant dans la formule (1) a en in, et, par conséquent, - en . =: - on obtient
^ ' ' J r 1 ^ a ta a
Cu !ar.i ■e""ru "" , H '^ , ./H' H " H^ AT
/ ^e""dx=i — i — H 7,-\ : , . . H-M " T — i = ... I -hc.
En remplaçant alors e'"^ par
e'"^= cosaojH- i sinax,
et égalant, de part et d'autre, les parties réelles et les coefficients de i, on a
\a \ Hcosrta'rfa'=:sinaj;( H --\-. . . |H-cosflx( — — h. . . )+'*', '
) J Va- / \a a' r '
I ru ■ 1 fvi H" \ , . /H' H'" \ „
I a j Hsinaa'rta'=— cosf/jf H j-h. . . j+sinaj;( —'^- • • )~+"^ •
Dans chaque parenthèse les signes sont alternés; on a supposé c = c' -h ic".
Ce calcul est légitime, car toute formule de calcul intégral est équivalente ù une formule de calcul différentiel; et la légitimité de telles différentialions a été établie.
/'' type. On calcule d'une manièj'e analogue les intégrales A = j e""" cosbxdx, B=: e"^ sïnbxdx.
32 INTF.GIIALES INDKFINIES
Kn prenant, dans les deux cas,
l'intégralion par parties donne
A=: ~e"''cosbx-h -B, a a
B = -e"'s\nbx A.
D'où les équations
An — hb = e"-" cos 6x,
Aô -h Bfl = e'"" sin 6a?,
qui, résolues en A et B, donnent enfin :
(5) A=-:r— n(«cos/>a:-+-*sinAx), B = -i — .,(— 6cos6j'H-rtsin6x).
il faudrait, naturellement, ajouter aux seconds membres des constantes arbitraires.
Remarque. — En employant les exponentielles imaginaires, on lîcrirait :
A-i-/B= j e" {cos bx -h i s'in bx) dx =z e"^ .e'''^ .dx.
Donc
/p "-r"'' J n if) e "+''■ dx = rj- + c z= 4 ï^o e "+''- -f- c. a-hîb a^-hb^
C'est-à-dire
A -h îB = -5 trC"^ Icos bx -+- i s\nbx) -h c' -+- ic".
En égalant les parties réelles et les coefficients de i, on retrouverait les formules (5) à des constantes additives près.
316. Application des changements de variables. — 1" Les intégrales de la forme / R(e')rfj:, où R est une fraction rationnelle de son argument, se ramènent immédiatement à des intégrales de ditîérenlielles rationnelles, en posant e^::=u, d'où a-^logî/, dx=: — . Il restera à intégrer :
