cos2x\- 1 — cns2x

le signe / ,

•2i INTEGllALliS INDEFINIES

Nous abrt'pcrous l'applicalioii de la milhode en écrivant, sous

^ (1 — C032 2T) (I 4-cos2.t) = -7 sinî2x. C03 2x + -. sin2 2x

= . sin-2x. cos2.r-|- r;(l — cos4.r), L'inlégrale est alors immédiate :

ôT sin^2x — .pjsinix -|-^x + c.

Autre méthode. — On peut arriver au résultat par une seule opération, en introduisant les exponentielles imaginaires :

cosa' = j^ , sin.r = -r--

En portant ces valeurs dans cos"'a: sin^'a-, on obtiendra des termes de la forme Ae~''"^. A étant réel si on suppose p pair. Comme l'expression ne change pas par le changement de i en — i {p élanl pair), à ce terme correspondra le terme Ae~'''^. Donc l'expression, en groupant ensemble les termes ainsi associés, sera de la forme

y A(e''- + e-''") = 22A coskx; et l'intégration sera immédiate.

Exemple I. cos^j- s\n-x= I i^ 1 ( rp I =

= — p (e»<-f — 2 + e-i'>) (eî'' -f 2 + e-2'>)

= — 77: 'cos6x-l- 2cos4r — cos2x — 21.

L'inlégrale est donc

1 sinGx 1 • I I 1 o , 1 1 — jQ 7j— — p sin4x + ^ sin2x-|- j-t + c

Comme on a

sin3a = 3 sina — 4 sin^ a,

on en conclut ...3 T sin 2x r. — | = .jj sin52x, de sorte que le résultat est conforme

à celui du calcul précédent.

Exemple 2. — La méthode est surtout commode pour / cos>".rd.r,el I s'mpxdx.

On a, d'après la formule du binôme, appliquée à cos x = s (e'^ + e— 'J), cos'"x = ^\-^ [e"''-t 4- jeim-ifT | IliULlzSï eiim-i)T +...], ' et, en réunissant les termes équidistants des extrêmes,

cos"'x = :y;;;zri I cosmx -j- ^ co&[m — 2)x -| j— 2 — cos(m — 4)x4- • • • !•

INTEGRALES INDEFINIES 23

Et de même, en supposant toujours p pair, sini'x = {— 1)* . -— î cospx — j cos(p — 2)x +^ fT '^"^ ^P ~ ^"l^ ~ * • * '

RemaPquc. — Les formules de trigonométrie,. permellant de transformer en sommes des produits de fonctions trigonométriques, serviront au calcul des intégrales de diflerenlielles de la forme

11 cos(ax-f- a')dx.

Vax exemple, pour

/ cosa cosp cosvrfx, oii :i=zax-\-a\ {^=.bx-\-b\ Y = cx-hc',

on aura Tidenlité

cos a cos !3 COS *; = ç^ cos a [cos (P + y) h- COS (p — y)] = T [cos (a 4-^4- ■') +

4- cos (a H- p — y) 4- COS (a — fJ + y) + COS (— a 4- ? 4- 7)] ; et ciiacun des termes, étant de la forme

cos(înx4- m).

s'intégrera immédiatement :

/ cos{mx ->r m')dx :^ — / cos{mx -^ m') d{mx —- m') t=z — sin(ïna:-h7?i').

§ 4. — INTIiGRALES DE DIFFÉRENTIELLES ALGÉBRIQUES

312. Cas où X figure dans la différentielle par des puissances fractionnaires. — Soit une intégrale de la forme

J ^\x, x'i. x'î' , . . Jdx

où R désigne une fonction rationnelle de x et de diverses puissances

fractionnaires de x. Supposons les exposants -■*-t . ... irréductibles,

et soit n le plus petit multiple commun des dénominateurs.^ de sorte que l'on a des égalités

n = Aç. » = )!q' . n = '/"q" . .... Si on pose

x=:M", ou « = '^a-,

on aura :

i Uî. >î.

dx=:t}u"-^du, X'' = Ul=lt"', X''' = U''''y ...

de sorte que la différentielle sera devenue rationnelle. L'intégration pourra donc alors s'effectuer.

24 INTEGRALES INDEFINIES

Exemple. l "^ " ^ ^ dx. On posera x = u'-, et l'inlégrale deviendra "■' 0-3 + l

J Ui + i J u'- + \

La division de 2u'0 4-u*' par u^ + 1 dcmnc

2u'o + u^ = (u- + \)(2u» — u6 + hI — (i^+'D — 1. La différentielle à intégrer devient ainsi

et rinlégrale est La proposée est donc

— ^ + -=--^+u — Arc tgii.

~xi — " j'-i + ix^- — 2x^ + x« — Arc tgU"";' + c.

Plus généralement, l'intégrale

J r{x, yv. y'?^ ...)dx.

où y est une fraction au premier degré, y = — — irrv" ^ intègre en posant j/ = z<", où n est encore le plus petit commun multiple de q,

En effet, les puissances y^ , j/^', ..., deviennent comme ci-dessus, des puissances entières de u; et, de plus, x est rationnel en y,

( x= ^ , 1 . de sorte que dx sera rationnel en v- \ a — ayj

La différentielle aura donc été rendue rationnelle.

Exemple. 1 1/ . ^dx.

C'est donc / y'-dx. avec y = ^ ^-

On posera v = u-. Cela revient à écrire simplement

De là

1 4- X , u- — 1 j ^uda

-— ! — = U-, X = J I ■ , dx = ,— J- I ,.., •

U reste à calculer

Nous intégrerons par parties :

0 = 2J«.^^^,^P^=.2J.ci.. avec ^^^^^^r+Tr-'

" = -ÏÏMrî'

INTÉGHALKS INDKFIMKS 25

Donc

Ainsi

-, . -I - I ^ , . — ^ , . , 2 Arc t^u.

Le radical n'est réel que pour — 1 <x<l; donc 1 — x est positif, et on peut écrire

fs/r^x'^ = - , nrT^ + 2 Arc tg y|±| + c.

313. Différentielles binômes. — On appelle diiïcrentieile binôme une difTérenlielle de la forme [ar''- -{- bx>}:dx, a, 3, y étant trois nombres fractionnaires. On l'écril souvent en faisant sortir de la parenthèse une des puissances de x.

[I] x"'{a + bx'')'-dx.

Il suffit de poser m = ay, p = [î — a. Nous la prendrons sous cette forme. 1° Si Y est entier, positif ou négatif, on est ramené au cas du numéro 312. C'est donc un premier cas d'intéyrabilité.

2° Posons a-\-bxi'^u. x!' = t(u — a). La différentielle T devient, à un facteur ' 0

constant près,

(u — a) V . ir; .du; puisque Ton a

x = (t)v'(u — «)'■' dx=z(j-]T'-~{a — a)? du.

Il y aura donc intégrabilité si — ^tl est enlier {2' cas d'intcgrabUitéi.

3" En faisant sortir de la parenthèse l'autre puissance de x, on écrit [1]

x"'+l'" [ax—v -\- b )'■ . dx.

En posant m' =: m 4-pv, p' ^ — p, on a, d'après le 2°, le cas d'intégrabilité (5" cas d'intégrabililé).

— 4^ entier. c'est-à-dire (- - enlier.

314. Intégrales abéliennes. — Considérons une intégrale de la forme

/ R(a?. y)dx, où R est une fonction rationnelle de x et */; et où y est

une fonction algébrique de x. i/^ç,(x). qui sera définie en général par une équnlion rationnelle et entière f{x, y)=0"'. Si la courbe représentée par cette équation peut se définir [)ar des équations paramétriques rationnelles,

on dit que c'est une courbe unicursale ou rationnelle; el on démontre que la représentation est possible de manière que le t de chaque point s'exprime par une formule rationnelle / = 6(x, y).

(I) L'intégrale s'appelle une intégrale abélienni'. attachée à la courbe /(x, y) = 0. Ces intégrales ne s'expriment qu'exceptionnellement au moyen des transcendantes élémentaires.

INTEGRALES INDEFINIES

En posant alors x = o{t), ce qui doit donner j/=1/(/\ la dilTérentielle R(j-, y dx devient rationnelle en t. On pourra donc intégrer et remplacer, dans le résultat, t par 0(t, y). L'intégrale s'exprimera donc, comme la difTérentielle, au moyen de x et y, liés par l'équation f[x, i/) = 0. Si on peut résoudre cette équation sous la forme j/ = <l'(a), elle sera connue explicitement en x seul.

Une application importante de celte idée générale concerne le cas où y = \ax^ -^ bx-hC, c'est-à-dire où on a à calculer

/ H(a:, yjax^-hùx -\- c)dx.

La courbe à considérer est alors la courbe du second degré y* — ax- — bx — r = 0, ellipse si a < 0, hyperbole si a > 0 ''.

On se rend compte immédiatement qu'une telle courbe est unicursale. Soit, en effet, A un point fixe sur la courbe, x^, y^, ses coordonnées. Coupons par une droite issue de ce point, de coeflicient angulaire variable /. Son équatiop est

y = yo^^i^ — ^o)'

En portant cette valeur de y dans l'équation f(x, y) = 0 de la courbe, qui est par hypothèse du second degré, on j obtiendra une équation en x du second degré, à coefficients rationnels en t.

La somme des racines est rationnelle en /, Tune des racines est a\, ; l'autre s'en déduit pardiflérence, et est, par suite, rationnelle en /. On a donc, pour le point variable d'intersection M, une formule rationnelle x=zz,(t)\ et l'équation y =zy^-\- i[x — x^) donne alors une valeur y = -l{t) également rationnelle.

Dans le cas actuel, nous distinguerons deux hypothèses, pour avoir un calcul'aussi pratique que possible :

/" Cas. a >0.

On peut écrire le radical \'a.^x^

- . ^:= - ). Tout

revient à exprimer rationnellement, en /, x et \x^-\-px dire qu'on peut considérer l'équation

q ; c est-à-

y = y^x--^px-^q, ou y'^ =: x"^ -^ px ^ q (,V > 0). Piir un changement d'origine, elle deviendrait y- = x^^k. C'est

(1) Le casa = 0 se Irailerait, comme on l'a vu au numéro 312, en posant u = s 6a,' -h c

INTKGUALES INUKl-INIES

donc une moitié d'hyperbole équilalère. Pour en obtenir Ui représentation paraniélrique, nous la couperons par des parallèles à l'une des asymptotes, ç'esl-à-dire à une des bissectrices des axes y = ±x. Prenons, par exemple, les droites

(1) lJ = — X-j-t.

L'intersection avec la courbe est définie par

{X — tfz=x--hpx-\-q, ou (2/-f-p)a:= r- — q.

On obtient une équation du premier degré en x, parce qu'il n'y a qu'un point d'intersection. Ainsi

t--hpt-i-q ~ 'Il -h p

dx

2/(2/ + ;?) — 2(<^ — (y) ■ 2(<- + pf + v)

{'It+pf

(tt^pf

'dt.

Ces formules fourniront la transformation de la difTérentielle donnée en dillérentielle rationnelle.

En fait, cela revient à poser

t=:x-+- yjx'^ -hjjx H- q.

Exemple. — On a un résultat très simple

pour /

x^+px-^q'

En efTet, les formules ci-dessus donnent dx __ 2dl

. Donc lintéifrale est :

log 2«+p|+c,

log «-tr^' +c';

c'est-à-dire (comparez n' 96), dx

S^-+PX+q

= log X -f ^ -f- \ a-i + px + q + c'.

2" Cas. a<0.

On écrit le radical ^ — a.\J — x--\-px-j-q. Il ne peut être réel que si le trinôme — x--hpx-T-q a des racines, et si x est compris entre ces racines. On posera donc

— X- H- px -h q = [x — ol) (p — x), en supposant a < % Et tout revient à considérer la courbe

Î/ = S .-r — a) ('i — X) ou y--i-x- — (|i -h aja^ -i- aS = 0.

28 INTEGRALES INDEFINIES

C'est un cercle, qui renconlre l'axe des j' aux points x-=a., a^ = p. Nous couperons par des droites issues de l'un de ces poinls, par exemple:

Les poinls d'intersection sont donnés par

Donc

<2(a — a)- = (p — .r)(x — a), ou

Pour résoudre facilement, nous écrivons, au moyen de combinaisons de rapports,

X — a P — X fi-- g (P — x)x

D'où