CHAPITRE II

ÉQUATIONS DE LA MÉCANIQUE

44. Équations du mouvement d'un point. — Considérons un point

matériel, de masse m, soumis à des forces dont la résultante est F. Si l'on prend comme système de comparaison, le système fixe, ou la

terre, le vecteur F est lié au vecteur accéléralion J par l'égalité fondamentale de la dynamique

Soient x, y, z les coordonnées du point par rapport à un système d'axes rectangulaires ou obliques attaché au système de comparaison

et X, Y, Z, les composantes de F. Nous admettrons que la force F n* dépend que de la position du point matériel, de sa vitesse et du temps. Par exemple, les forces d'attraction, les actions électriques ou magnétiques ne dépendent que de la position du point. Les résistances dues au milieu où se déplace le mobile, la résistance de l'air, par exemple, dépendent de la vitesse de ce mobile. Nous sommes donc conduits à supposer que, dans le cas général, les composantes X, Y, Z sont des

fonctions des sept variables x.y, z. -j-, -f(-, -^^, I.

En écrivant que les composantes du vecteur ?>/J sont égales à celles du vecteur F, il vient

(Px -. / dx dij dz \

"^di'-^V' i/' =' rfi' 'dVdt' [r

, s c^V ,- / dx du dz A

,1) ^rfF=H'''^--''-^'i'rf^'V'

^-yfj: y . dx dji dz \ rf/^ — ^^T'-^' -' dt' dl' dl' V

Ces équations (1) s'appellent les équations différentielles du mouvement.

MATH. GÉNÊR.VLES. — II. 23

354 DYNAMIQIE DT POINT

Pour connaître le mouvement, il faut trouver trois fonctions ' (2) x = f{t), y = 9{t), z = h(ii,

telles que, en remplaçant dans les équations (1) les variables x, y, z et leurs dérivées premières et secondes par leurs valeurs tirées de (2), les deux membres deviennent égaux pour toutes les valeurs de /. Les équations (2) sont ce que nous avons appelé les équations du mouvement. On dit quelquefois que ce sont les équations du mouvement sous forme finie pour les distinguer des équations (1), qui sont les équations du mouvement sous forme différentielle.

Ainsi, pour déterminer le mouvement d'un point soumis à des forces connues, il faut trouver trois fonctions inconnues. Il faut tirer ces fonctions des équations (1) qui lient les valeurs des fonctions, celles de leurs dérivées premières et secondes et celles de la variable t. C'est ce qu'on appelle intégrer les équations ditrérentielles du mouvement.

On démontre, en analyse, quil existe trois fonctions x, y, s, de / qui vérifient les équations (1) et qui, pour t = Z^, prennent des valeurs données x^,, j/^, z^, leurs dérivées premières prenant aussi des valeurs données x'^, ?/„, z'^. Quand on se donne les six valeurs initiales a^oi J/o' *o' "^é' î/ô' K correspondant à la valeur initiale Z^, la solution est complètement déterminée. En d'autres termes, un mouvement est coniplèlemenl déterminé par la connaissance de la loi de la force qui agit sur le mobile et par celle de la position et de la vitesse du mobile à un instant donné t^. On peut, à l'instant /„, placer le mobile au point que l'on veut de l'espace et lui imprimer telle vitesse que l'on veut*Le mobile étant alors abandonné, son mouvement est déterminé. C'est ce qui se passe, par exemple, quand on tire une balle de fusil. La position du mobile et le vecteur vitesse de ce mobile à la sortie de l'arme forment les conditions initiales de ce mouvement.

Les équations (l) sont des équations différentielles du second ordre parce que les dérivées des fonctions inconnues y figurent jusqu'à l'ordre deux. Leur intégration est un problème diflieile en général. On considère que la difliculté d'intégrer des équations ditîérentielles croît avec leur ordre. Or, il peut arriver que par suite de conditions particulières du mouvement, les solutions de (l) vérifient aussi une ou plusieurs équations ditrérentielles du premier ordre, c'est-à-dire ne contenant que les dérivées du premier ordre des fonctions inconnues. Dans ce cas, il sera avantageux de mettre ces équations du premier ordre à la place d'un inùine nombre d'équations (1). Nous verrous, dans les chapitres suivants; comment le théorème de la force vive et

EQUATIONS DE LA MECANIQUE

le lliéorùnie des aires permellenl ce Ue subslitulioa dans des cas très généraux.

45. Détermination de la force quand on connaît le mouvement. — Les éiiiKitions (1) permellenl de résoudre réieileiueiil le prohlème suivant : on connail la masse et les équations du mouvement sous forme Unie, trouver les coniposanles de la force. Il suffit pour avoir \, Y, Z, de calculer les dérivées secondes de x, </, :, et de les multiplier par 7«. C'est un problème de différentiation. Ce problème revient évidemment au calcul de l'accélération du mobile, par suite de la relation > v

l'Jxemple. — Soit le mouvement

X— -a cos((o< H-a), y = 6cos((of

-f-p), z = ct\

on a

x" z=^ — co^x, y'^^ — <*>"!/> :"^0,

X = — rrnù-x, Y = — ritorij, Z=0. La force rencontre 0;:, est perpendiculaire à cet axe, dirigée vers lui et proportionnelle à la distance du mobile à Taxe.

46. Équations intrinsèques du mouvement. — Il est souvent commode de changer le système des axes auxquels on rapporte le mouvement. Pour faire ce changement, il suffit d'exprimer, dans chaque nouveau système, l'égalité fondamentale

En particulier, soit M, un point de la trajectoire, prenons comme

axes de coordonnées, la tangente positive Mf, la direction positive de la normale principale M» et la perpendiculaire M6 au plan osculateur /M/i ou biuormale.

Les composantes de l'accélération suivant ces axes sont

et, par conséquent, les équations du mouvement seront, en désignant par F(, F„ et F^, les composantes de la force suivant les axes M/, M;i, Mb,

"'rf/~ " ^n^=h„, 0=1-,,.

Les équations précédentes s'appellent les équations intrinsèques du mouvement. Elles sont, en particulier, commodes lorsque la trajectoire est déterminée géométriquement.

47. Champ de forces. — Lignes de forces. — Les composantes d'une force peuvent dépendre des coordonnées a-, y, s de la position du mobile et des composantes x', y\ z' de la vitesse; elles peuvent aussi varier avec ie temps t, comme nous l'avons vu au paragraphe M.

Supposons que la force ne dépende que de la position du mobile. Ses composantes X, Y, Z, sont alors des fonctions de .r, y, z seulement :

Les fonctions X, Y, Z sont définies pour une certaine région D de l'espace. On dit que ces équations définissent un champ de forces dans la région D. On peut imaginer que, en chaque point de D, on a placé le vecteur qui représente la force en ce point. C'est l'ensemble de ces vecteurs qui constitue le champ. Les équations précédentes déterminent la distribution de ces vecteurs dans la région D. Dans la définition d'un champ de forces, nous supposons que l'on ait choisi un point matériel déterminé et que X, Y, Z soient les composantes de la force qui agirait sur ce point s'il occupait la position .r, y, :.

Par exemple, pour une petite région sur la terre, le poids d'un point matériel de niasse m est une force d'intensité mg représentée par un vecteur vertical. On dit que la pesanteur définit un champ uniforme dans une région peu étendue. En deux points quelconques de ce champ, les vecteurs qui représentent la force sont égaux. En réalité, en deux points distants d'un kilomètre, les verticales font un angle de 36" et l'intensité de la force diminue de un millionième de sa valeur au sol chaque fois qu'on s'élève de 3 mètres. De même, l'action d'un centre attractif 0 sur un point matériel déterminé définit un cliamp de forces autour de 0. Kn chaque point du champ, le vecteur force a une dirrction passant par le point 0.

ÉQUATIONS DE LA MÉCANIQUE 357

On appelle ligne de forces une courbe qui, en chacun de ses points, est tangente au vecteur force qui a ce point pour origine. La tangente au point x, y, z est délinie par le vecteur dx, dy, dz; comme ce vecteur a la même direction que le vecteur X, Y, Z, on doit avoir

dx dy dz

Ces équations s'appellent les équations différentielles des lignes de forces; en prenant z, par exemple, comme variable indépendante, on peut les écrire

dx\ dy Y,

dz~ Z' dz~Z'

en les intégrant, on obtient les courbes

X = <f{Z, Cl, Cj),

y = 9(-, c,, Cj), qui dépendent de deux constantes arbitraires c^, c.^. Par chaque point Xj, j/j, z^ de l'espace, il passe, en général, une ligne de forces, car on peut prendre pour c, et c, les valeurs a^^ et j/o de x et de y pour z = Jq.

Dans le champ d'une force constante, les lignes de forces, ayant leurs tangentes parallèles à une direction fixe, sont des droites parallèles à celle direction. Ce sont les verticales, dans le champ de la pesanteur. On a d'ailleurs, si l'axe des : est vertical, X=rO, Y = 0, Z = — ,ng; d'où

rfz="' iÉ=^ '^ ^='- ^=y'>-

Dans le champ d'une force centrale, les lignes de forces ont, en chaque point, une tangente passant par le centre 0; ce sont donc les droites issues de 0. D'ailleurs, si le centre 0 est pris comme origine des coordonnées, on a

X = À j:, y = à y , Z = À 2, A étant une fonction de x, y, z. Les équations différentielles des lignes de forces sont alors

dx X

Tz — z-

dy tz

La première donne

dx dz

de même, on a

Les équations

représentent les droites issues de l'origine.

CHAPITFiE III