TRAVAIL. — FORCE VIVE
48. Travail élémentaire. — Ses propriétés. — La notion de travail associe l'idée de force à celle de déplacement. Supposons qu'un point
matériel M, soumis à une force F, se déplace d'une petite longueur MM' dans la direction et le sens de cette force. Nous considérerons le travail comme proportionnel à l'intensité de la force et à la grandeur du déplacement et, par conséquent, comme proportionnel à leur produit. Nous conviendrons que, paur ce déplacement élémentaire, le travail est égal au produit F x MM'. Plus généralement, supposons que M ait un petit déplacement rectiligne dans une direction quelconque : nous
appellerons travail élémentaire de la force F pour ce petit déplacement le nombre FxMM'xcosa, x désignant l'angle de la direction de la
force et de la direction MM'. Ce travail est positif, négatif ou nul suivant que la direction de la force fait avec celle du déplacement un angle aigu, obtus ou droit, .\insi,
Le travail élémentaire est le produit scalaire F. MM' des deux vecteurs force et déplacement.
On peut l'obtenir en multipliant la longueur du déplacement par le nombre qui mesure la projection orthogonale de la force sur la direction de ce déplacement, ou en multipliant l'intensité de la force par le nombre qui mesure la projection orthogonale du déplacement sur la direction de la force.
Nous avons vu au paragraphe o que, si l'un des facteurs d'un produit scalaire est une somme géométrique de plusieurs vecteurs, le
TRAVAIL. — FORCE VIVK
calcul du produit «e fait comme en arithmétique. Supposons que la
force F soit la résultante de plusieurs forces d'origine M :
Le travail élémentaire de la résultante est la somme algébrique des travaux élémentaires des forces composantes.
Supposons que le déplacement MM' soit la somme géométrique de plusieurs vecteurs d'origine M :
Le travail élémentaire relatif nu déplacement résultant est la somme algébrique des travaux élémentaires relatifs aux déplacements composants.
49. Expressions analytiques du travail élémentaire. — Soient X, Y, Z les composantes de la force F et dx, dy, dz les composantes du vecteur MM'. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est
Xdx-+- Ydy^Zdz; c'est le travail élémentaire.
Par e.vemple, si F désigne le poids du point M et si l'a.ve des : est
la verticale ascendante, on a
X=0, Y = U, Z = — mg;
le travail élémentaire est ,
— mgdz.
Supposons que le point M se déplace sur une courbe : nous appellerons travail élémentaire relatif à un petit déplacement MM' =:ds sur cette courbe le travail élémentaire relatif au vecteur dx, dy, dz, ces nombres désignant les différenlielles de x, y, z. Ce vecteur, de longueur irfsj est porté par la tangente à la courbe au point M. Le travail a pour expression Fids en appelant F, le nombre qui mesure la projection de la force sur la tangente positive.
Exemples. — 1" Supposons que le point M décrive un arc de cercle; soit P: l'axe du cercle, )• son rayon et 0 l'angle du rayon r*M avec un rayon initial PM^,. Le
travail élémentaire de la force F
est relatif à un petit déplacement
sur la tangente à la circonférence,
mesuré par rrfô; le travail a pour
expression F:Xrdh ou rF:Xdh. Le premier facteur mesure sur
l'axe P: le moment N de la force par rapport à cet axe : le travail
élémentaire est donc NrfO.
360 uynamiqh-: du point
2" Supposons que la force F passe par un point fixe 0 et désignons par z{r) le nombre qui mesure le vecteur F sur l'axe OM, r désignant
la mesure de OM; o{r) est positif ou négatif suivant que la force est répulsive ou attractive. Si le point M décrit une courbe quelconque, le travail élémentaire est relatif au déplacement MM' mesuré sur la tangente positive par Js. Le vecteur MM' est la somme géométrique du vecteur M H porté par OM et mesuré sur cet
axe par di' et du vecteur MK
perpendiculaire à cet axe
dans le plan OMM'. Le travail
élémentaire est la somme
des travaux relatifs à ces
deux déplacements; le travail est nul pour le déplacement MK qui est
normal à OM; il reste le travail pour le déplacement MH, ce travail est
mesura par FxMH ou z,{r)dr.
50. Travail total. — Supposons qu'un point matériel décrive un arc de courbe yi^M: partageons cet arc en un certain nombre d'arcs partiels par les points de division M,, M,, . . . M„, et calculons le travail élémentaire en chacun des points M^,, Mj, . . . M„i. Nous prendrons comme variable l'abscisse curviligne d'un point de la courbe; s^, s^ . . . Sn-i, S seront les abscisses des points M^ M,, ... M„i, M et iIsq, rfsp . . . dsn^i désigneront les accroissements s^ — s^, s^ — s^, . . . S — 5„i. Les nombres ds^, ds,, . . . dsn-i nous serviront à calculer les travaux élémentaires aux points M^, M,, ... M„i. La somme de ces travaux est
F^ds^ -h l\ds^ + . . . -h F„irfs„,,
en désignant par F^, F,, ... F„, les nombres qui mesurent les projections du vecteur force sur la tangente positive à la courbe aux points Mq, m,, , . . M„i.
On appelle travail total de la force F le long de l'arc de courbe M^M la limite de la somme des travaux élémentaires aux points de division Mq, m,, . . . M„,, lorsque le nombre de ces points augmente indéfiniment de manière que la distance de deux points consécutifs ait pour limite 0.
.Appelons F( le nombre qui mesure la projection de la force en un point de la courbe d'abscisse s sur la tangente positive en ce point;
THAVAIL. — FOnCK VIVE 36t
P, est une fonction de la variable s. La somme précédente peut s'écrire
F,(.grf,v„ -h F,(s,)rfs, H- ... -h F,(.v„,)rf5„,
et sa litnite est l'intégrale définie de la fonction F, (s) prise entre v^ et S. Si nous désignons par T> le travail total, nous aurons
Remarque I. — Supposons que les coordonnées d'un point de la courbe soient exprimées en fonction d'un paramètre q,
^ = f{ql // = ?(-?)' = = ^'(9).
l'expression du travail élémentaire sera
\uds = \dx + \dy -h Zdz = [X/"(//) + Y(/'(9) -h Zh'{q)]dq et celle du travail total
6= rF4s= f\xr{q) + Yg'{q)-i-Zh'{q)]dq,
en désignant par q^ et Q les valeurs du paramètre q qui correspondent aux points M^ et M.
On écrira d'-une manière générale
C= / Xdx-f- Yrfî/ -h Zrf:,
en convenant que, dans l'expression placée sous le signe somme, dx\ dy, dz sont les dilïérenlielles d'un point de l'arc de courbe M^M dont les coordonnées sont exprimées en fonction d'un paramètre q quelconque, qui pourra être l'abscisse curviligne s. L'intégrale précédente est une intégrale curviligne prise sur l'arc de courbe M(,M. L'arc de courbe M„M n'est pas nécessairement un arc d'une Irajec-
toire que décrirait le point M soumis à la force F. Dans le cas particulier où il en est ainsi, on pourra prendre le temps t comme
variable q.
—y Remarque II. — Supposons que la force F soit normale à la
courbe M^M en chacun de ses points. Le travail élémentaire relatif à un petit déplacement sur cette courbe est nul; il en est de même de la somme qiii sert à définir le travail total. Donc le travail total, limite d'une somme toujours égale à zéro, est nul.
Exemples. — 1° Supposons que F soit le poids du point M. ses
composantes seront
\ = 0, Y = Û, Z = — mg,
DYNAMIQUE Di: POINT
si l'axe 0: est une verticale ascendante; le travail élémentaire est — 77igdz elle travail total
^ = J^ — mgdz = — 7ng{z — :„) ;
car l'on peut prendre s comme variable q: : et z^ sont les cotes des points Mq et M.
2° Supposons que F soit une force centrale passant par l'origine 0 des coordonnées et ne dépendant que de la dislance ?• de M à l'origine. Le travail élémentaire est
Xrfa- -t- Yrfi/ -h Zrfs ^ o (?')rfr et le travail total
Ç= rXdx-{-\di/-i-Zdz= r'^{r)dr,
en prenant v comme variable rj. Si 4j(?') est une primitive de z>{r), on a
G = ,ï,(R)cI. (,.„);
dans ces formules, ?•(, et R sont les valeurs de r correspondant aux extrémités M^ et M de l'arc de courbe.
3° Considérons un champ de forces parallèles au plan des xy et indépendantes de s. La distribution des forces est identique dans les plans parallèles au plan xOy. Supposons que l'arc de courbe soit dans le plan des xy. La force en un point M de ce plan est supposée représentée par un vecteur égal à OM et faisant l'angle
tion OM. Ses composantes sont X = — y Y = -h a?. Le travail élémentaire est \dx -h \dy = xdy — ydx.
Calculons le travail total le long du segment OA qui va de 0 au point (1, 1); puis le long de la demi-circonférence OBA de diamètre OA ; enfin le long de la ligne brisée OBA. Le premier travail est nul, puisque la force est perpendiculaire à 0.\ en chacun de ses points; on a d'ailleurs x = y, ■dx = dy et
G, = / xdy — ydx = 0.
Pour calculer le second travail tj^, exprimons les coordonnées d'un
~ avec la direc-
TRAVAIL. — forci: VIVE 363
point M de la demi-circonférence en fonclion do l'angle 7 que fait, avec r, le ray( On aura
Ox, le rayon CM de la circonférence; cet angle variera de — */ ^ ~+" ï
dx = — ^sin^rf^, dy = ^cosqdq; xdy — ydx = j- [y^ 4- si n 7 -1- cos 7] dq.
(32 = ^ / (v''2-f-sinr/ + cos7)rfr/z=^^- y/27 — cos^H-sin^
Calculons le troisième travail Ç3. Le long de OB, ?/=:0, dy=:0, le travail est nul. Le long de B.\, prenons y comme variable; x=l, dx==iO et
fx
51. Unité de travalL — L'unité de force et Tunilé de longueur étant choisies, l'unité de travail sera le travail mesuré par le nombre m». Supposons qu'un point matériel soumis à une force constante se déplace dans la direction et le sens de cette force. Le travail sera 6 = F/, F étant l'intensité de la force et l la longueur du déplacement. Si F = 1 , / := 1 , on aura S ^ 1 .
Prenons comme unité de longueur le mèlro, comme unité de force le kilogramme, Tunité de travail sera le kilogrammèire, travail d'une force constante égale à un kilogramme lorsque son point d'application se déplace de un mètre dans la direction et le sens de la force.
Si l'unité de longueur est le centimètre et l'unilé de force la dyne, l'unité de travail sera Verg.
Comme un mètre contient 10* centimètres et un kilogramme environ 10^ dynes, on voit que le kilogrammétre représente approximativement 10* ergs.
Exemple. — Calculons le travail efTectué par le poids de un gramme tombant des régions extrêmes de l'atmosphère à laquelle nous attribuerons une épaisseur de 00 kilomètres.
Nous admettrons que le poids varie en raison inverse du carré de la distance au centre de la terre; à la distance r, le poids sera donné
par-^, si l'on prend le gramme et le kilomètre comme unités, en désignant par R le rayon de la terre. On aura ici »(») = :2 •
ç est exprimé en kilogrammètres, puisque l'unité de force est le millième du kilogramme et que l'unité de longueur vaut mille mètres.
En négligeant le rapport -pr devant l'unité, on obtient G:=60 kilogrammètres car
Si l'on prend R = 6371 kilomètres, on trouve pour G la valeur 39,4. Nous avons négligé la rotation de la terre dans la définition du poids.
52. Fonction de forces. — Potentiel. — î>upposons qu'un point matériel M soit placé dans un champ de forces. Le travail de la force lorsque le mobile va de M„ en M, dépend de la position de ces deux points et de la l'orme de l'arc de courbe suivi par le point M. C'est ce que montre l'exemple 3 du paragraphe 50. Mais, il peut arriver que le travail dépende seulement de la position des extrémités M,, et M, de l'arc de courbe et demeure le même quelle que soii la forme de cette courbe; il en est ainsi dans les exemples 1 et 2 du paragraphe 50. Les conditions que doivent remplir les fonctions X, Y, Z, des variables X, y, z, pour qu'il en soit ainsi sont exprimées par le théorème suivant.
Théorème. — Pour que le travail ne dépende que des extrémités de lare de courbe décrit par le mobile, il faut et il suffit que Vexpression
\dx-h\dy-{-Zdz
soit la différentielle totale d'une fonction U{x, y, :).
En d'autres termes, il faut et il suffit que X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une fonction U(.r, y, z) par rapport h x, k y ei k z.
1" La condition est nécessaire. Soit .Mq un point fixe, M un point variable. Le travail pour aller de M^ en M ne dépend pas, par hypothèse, de la forme du chemin M^M; il ne dépend que de la position de M, c'est-à-dire des valeurs des coordonnées .r, y, - qui fixent la position de ce point. Le travail de M^ à M est donc une fonction l]{x, y, z) de ces trois variables. Cherchons la dérivée partielle de U par rapport à x; pour cela donnons à y et - des valeurs fixes y^, z^ et soit M,
