OS
{x^, j/„ z^) un point fixe, M(j?, y,, :,), un point variable de la parallèle
à Ot menée par le point Mj. Lorsque M décrit cette parallèle, U
devient une fonction U {x, y,, 3,) de la
seule variable x. Pour aller de M^ en M
on peut suivre un chemin quelconque
allant de M^ à M, et le segment recli-
ligne MjM; le travail sera
\:{x,y,,z^) = C-h r\dx,
si on désigne par C la constante U{x^, y^, :,) qui représente le travail de M„ à M,. Le second membre est une fonction de x qui a pour dérivée \{x^, i/,, s,) pour x = x^. On a, par suite, en enlevant les indices.
X. Y, Z sont donc les dérivées partielles de la fonction U(x, y, z). Si l'on avait pris un autre point fixe Mo, la fonction U'(x, t/, z) correspondant à ce point ne différerait de U que par une constante puisque U et U' ont la même différentielle. D'ailleurs, pour aller de M„ en M, on peut passer par M^ et l'on a
ou
C désignant ici la conslanle f-,,".
2" La condition est suffisante.
Supposons, en effet, que
\dx -f- Ydy -t- 7.dz = d\^{x, j/, :;
et calculons le travail pour un arc de courbe allant de M,/.r„, y„, z^) à M,(x,. y^, :,). Le long de cet arc, .r, y, z sont des fonctions d'un paramètre q qui se réduisent h Xi^, y^, z^ pour q = q^, et à .r,, y^, z^ pour q= qy et U(.r, ;/, :) devient une fonction de q dont \dx-\- Ydy -h Zdz est la différentielle. Le travail est
x,^' = I \dx'-h \'dy H- Zdz = j
"dV dq
dq,
par suite,
Ci.= l"'-r- V' --)'!;= ^' {^r î/i. =1) — U(-ï-o- î/o' =o)-
Le travail ne dépend donc que de la position des points Mq et M,. Lorsque, le travail élémentaire étant une différentielle totale, le travail total ne dépend que de la position des extrémités de lare décrit
366 DYNA.MIQl,!-: DU POINT
par le mobile, on dit que le champ dérive d'une fonction de forces. Cette fonction est la fonction U(x, y, z) dont le travail est la diiïérentielle. Elle n'est définie quà une constante additive près, car on peut évidemment remplacer U par U-hC.
La fonction — U = V s'appelle le potentiel. On dit aussi que le champ dérive d'un potentiel et l'on a
Le potentiel, comme la fonction de forces, n'est défini ([u'à une constante additive près.
Remarque, — Le calcul que nous venons de faire suppose que la fonction \l{x, y, z) ait une seule détermination en chaque point du champ, c'est-à-dire que, en -partant d'un point M avec une valeur déterminée pour U, en se déplaçant sur une ligne fermée partant de M et en suivant par continuité les valeurs de U, on retrouve la même valeur numérique de U quand on revient au point M. Il n'en serait pas ainsi, par exemple, pour la fonction
U (.r, »/,:) = arc tg|
qui donne naissance au champ
Si l'on part d'un point M avec la détermination principale de l'arc tangente et si l'on décrit un chemin fermé entourant une fois l'axe des z en suivant par continuité les valeurs de U, on revient au point M avec une valeur numérique qui dilfère de la première de ±27: suivant le sens dans lequel on a tourné autour de l'axe 0:. Dans le champ défini par les fonctions X, Y, Z, le travail n'est pas indépendant du chemin. Il n'en serait ainsi que si on limitait le champ à une portion de l'espace dans laquelle l'axe Os ne pénétrerait pas.
53. Surfaces de niveau. — Lorsque le champ dérive d'une fonction de forces U, on appelle surfaces de niveau les surfaces ayant pour équation
C étant une constante. Deux surfaces de niveau n'ont pas de point de rencontre, puisque en un point commun aux deux surfaces
u devrait être égal h la fois à C, et à C^. Par chaque point Mo(aro, ?/„, z^)
TKAVAIL. ■ — FOIIO: VIVE 367
du champ, Il passe une surface de niveau ; en eiïet, pour qu'une surface de niveau passe par M,,, il fnul ([ue
Inversement, la surface de niveau
\]{x,ij,z) = {]{x^,y^,z,,)
passe l)ien par le point M^.
Calculons le travail pour un chemin allant d'un point Mg(x^, y^, :„) de la surface de niveau U^Cq à un point y\^{x^,y^, z^j de la surface de niveau U = C,. Ce travail est égal à
UK, ?/p -,) — U(a-„, y„ :„) = C^ — C,.
Il demeure le même lorsque le point M,^ varie sur la surface de niveau U = C^ et le point M, varie sur la surface de niveau U = Gi. Pour aller d'une surface de niveau à une autre surface de niveau, le travail est non seulement indépendant du chemin mais encore du point de départ et du point d'arrivée. En particulier, le travail est nul lorsque les extrémités du chemin sont sur une même surface de niveau.
Supposons que, dans un champ de forces, les forces soient parallèles à un plan lixe et ne dépendent pas de la distance à ce plan de leur point d'application. Si le plan a été pris comme plan des xij, on aura
\=X{x,rj). \=Y{x,y), Z=0;
les lignes de force sont des courbes planes contenues dans des plans parallèles au plan des xy et qui se déduisent, par des translations parallèles à 0:, de celles d'enlre-elles qui sont contenues dans le plan des xy. Si le champ dérive d'une fonction de forces, c'est que \dx-\-\dy est la dillérentielle totale d'une fonction {]{x,ij). Les surfaces de niveau \J{x, j/) = C sont des cylindres dont les génératrices sont parallèles à 0-; les sections droites de ces cylindres s'appellent des courbes de niveau. Un champ tel que nous venons de le définir s'appelle un champ plan parce que l'étude de ce champ résulte de l'étude de la distribution des forces dans le plan des xy.
54. TiiÉORÉMK. — En chaque point d'un champ dérivant d'une fonction de forces, la force est normale à la surface de niveau qui passe par ce point.
Soit iMo(Jo, j/o, 2^1 un point du champ et
l'équation de la surface de niveau qui passe par ce point. La normale à la surface au point M^ contient le vecteur
^ = X(j-„, ij,, 3,), ~ = Y (a-o, J/o' -o)' ^=^' (^"o- ?/•>' =o).
•^^f, •'«/il '^n
c'est-à-dire le vecteur force.
Il résulte de ce théorème que les lignes de forces rencontrent à angle droit les surfaces de niveau. Soit, en eflet, M„ un point d'une ligne de forces L, la tangente en M,, à la courbe L contient le vecteur force au point Mg et ce vecteur est normal à la surface de niveau passant par >!„.
Les lignes de forces sont donc les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau. Lorsque le champ est plan, les lignes de forces sont les trajectoires orthogonales des lignes de niveau.
Exemples. — 1° Dans le champ de la pesanteur,
X=:0, Y = 0, Z = — mg.
\di- -h Ydy -h Z'/: = — mgdz =:d{ — mgz) ;
on peut prendre 1' = — mgz; les surfaces de niveau sont les plans horizontaux rrrrC""; les lignes de forces sont les verticales.
2° Champ d'une force centrale ne dépendant que de la dislance au centre. On a •
\dx H- \d;i -^'Ldz — ■j{r)dr = rf'I>(r),
en désignant par <I>!^r) une primitive de 'f(''); on peut prendre U=:<l>(r) = 'i>(v/a^-4-j/^-t-z^); les surfaces de niveau <l)(r) = C sont les sphères j'r^C"; les lignes de forces sont les rayons de ces sphères concentriques.
Remarque I. — Si Xo?x-h Yrfy -h Zrf: est une dilTérentielle totale, celte propriété subsiste lorsqu'on prend de nouveaux axes de coordonnées. En effet, si \dx -^ \ dg -\- Zdz est une différentielle totale, le travail est indépendant du chemin et réciproquement. Or celle propriété du travail est indépendante de la position des axes de coordonnées.
Remarque II. — Soit un axe quelconque A; nous allons définir la dérivée de V{x, y, -) suivant la direction A, en chaque point M de A. Soient U et U' les valeurs de U au point M et au point de A voisin M';
formons le rapport . ; la limite de ce rapport, lorsque M' vient
