TRAVAIL. — FORCE VIVE

in M. est, par définition, la dérivée de U, au point M, suivant la direction A.

Je dis que cette dérivée est égale au nombre Ka qui mesure la projection sur A de la force d'origine M. En effet, on peut toujours supposer que l'axe A a été pris comme axe Ox; la valeur de U' — U ne change pas, puisqu'elle évalue le travail de la force lorsque le mobile

va de M en M'. La limite du rapport est égale à ' — =X et X

MM' c'>x

représente le nombre Fa-

En particulier, calculons, en chaque point du champ, la dérivée de U

suivant la normale à la surface de niveau passant par ce point. Nous

choisirons sur celle normale, comme sens positif, celui de la force au

point M. Nous aurons l'égalité

an '

en appelant -j- la dérivée suivant l'axe choisi et F le nombre qui

mesure l'intensité de la force qui se confond ici avec sa projection sur

Taxe. Le nombre -— étant positif, on voit que le rapport , dont

dn MM'

il est la limite, est positif si MM' est assez voisin de zéro ; si M' est pris

dans la direction positive de la normale, MM' est positif: il en est de

même de U' — U, c'est-à-dire que U' > U. Gomme le sens positif est

celui de la force, on voit que celle-ci est dirigée dans le sens pour

lequel U va en croissant. On dit plus brièvement que la force est

dirigée dans le sens des surfaces de niveau croissantes : cela signifie

que si M' décrit le vecteur force, de l'origine à l'extrémité, les valeurs

de U correspondant à ce point M' vont en croissant. En résumé, Vinten-

silé de la force en M est égale à la dérivée de U prise suivant l'axe

normal à la surface de niveau qui passe par M et dirigé vers les surfaces

de niveau croissantes.

Traçons deux surfaces de niveau voisines correspondant aux

valeurs U et U -l- £ (£ > 0); en chaque point de la première surface,

la force est dirigt'e suivant la demi-normale qui perce en M' la seconde

-urface et son intensité est approximativement égale à ^^rrrr, si t est

assez petit. Donc, le long de la première surface, linlensité de la force varie en raison inverse de la distance MM'.

Lorsque le champ est plan, les courbes U(x, y) = C représentent les lignes de niveau dans le plan des xy. La force est normale en chaque point du plan à la ligne de niveau qui passe par ce point et elle est dirigée, sur cette normale, dans le sens des lignes de niveau croissantes.

lEXtHALES.

—y 55. Théorème. — ^\' le champ d'une force F^ dérive d'une fonction

de forces \.\ et si le champ d'une force F, dérive d'une fonction de

forces Uj, le champ F, -+- Fj dérive d'une fonction de forces \]^ -h U^.

En effet, le champ de F, est défini par les fondions Xj, \\. Z^ et

Ion a

\^dx -h \\dij H- Z^(/; := d\\ ;

le champ de Fj est défini par les fonctions X^, Yj, Z.^ el l'on a \Jx + YJij -f- ZjC?: = dlJ.y On déduit de là :

(Xj + X.;)dx -4- (Y. H- Y.)rfy H- (Z, + Z,)rf: = (/(U^ + U^).

Or X,-i-Xj, Y, 4- Y,, Zj-f-Z^ sont les fonctions qui déterminent le

champ Fj + F.^, c'est-à-dire le champ défini, en chaque point, parla

somme géométrique des vecteurs ¥^ et F.^ et l'égalité précédente montre que ce champ dérive de la fonction de forces U, -h U.^.

Le théorème s'étend immédiatement au champ formé par la somme d'un nombre quelconque de forces.

Soit, par exemple, le champ de la pesanteur pour lequel U^ = — mgz et le champ défini par une force centrale attractive passant par l'origine et proportionnelle à la distance, pour laquelle o{r)=^ — kr et

kf- Uj^-^-^. Le champ formé par la somme de ces forces dérive de la

fonction de forces — (mgz-{-z^^^i'')- Les surfaces de niveau, ayant pour équation

-h-T^-^7ngz = — C, OU

j k{x^ -h y- -^ z"2) + mgz 4- C = 0,

sont des sphères concentriques. On vérifie d'ailleurs aisément que la

force F, ^Fjpasse par un point fixe de Os et que son intensité est proportionnelle h la distance de son point d'application à ce point fixe.

56. Force vive. — On appelle foi'ce vive d'un point matériel de masse m le produit rnu^ de sa masse par le carré de sa vitesse. 11 existe, entre la variation de la force vive d'un point M qui se déplace sur sa

trajectoire sous la seule action d'une force F el le travail de cette force,

TRAVAIL. — FOHGE VIVK J71

une relation remarquable dont l'énoncé constitue le théorème de la force vive.

Théorème de la force vive. — Lorsqu'un point matériel, soumis à la seule action d'une force F, va du point M^ au point M, de sa trajectoire, la demi-variation de la force vive est égale au travail de la force F pour le déplacement correspondant :

^{mv] — mvl) = '^yi],

«0 et u, désignant les valeurs de la vitesse en Mj, et en M^.

Démontrons d'abord le théorème pour un déplacement infiniment petit; nous Tobtiendrons en introduisant l'expression de l'accélération tangentielle en fonction de u et de s dans l'une des équations intrinsèques du mouvement :

Elle s'écrit, en effet,

1 rfu^ 1

2Wï-^ = F„ ou d^mv'^z=Vtds.

Cette dernière relation exprime que la clifférenlielle delà demi-force vive est égale au travail élémentaire sur la trajectoire.

Intégrons, entre M^ et M,, les différentielles qui sont dans les deux membres de la dernière égalité; quelle que soit la variable, l'abscisse curviligne s par exemple, on aura

£'d(^^mv-^=^^^mv^y = ^{mv- — mvl), et

rF,ds = Zl, donc

^{mv] — mvl)z=T,^.

Pour le calcul du travail, différents cas peuvent se présenter : 1° la force dépend de la position et de la vitesse du mobile; dans ce cas, le calcul du travail exige la connaissance préalable de la trajectoire et de la vitesse, c'est-à-dire la connaissance complète du mouvement. Le théorème ne peut être utilisé pour la détermination de ce mouvement.

2° La force ne dépend que de la position du mobile; le point est placé dans un champ de forces, le calcul du travail peut être effectué quand on connaît la trajectoire. Donc, lorsque la trajectoire est connue,

378 DYNMAIQIE DU POINT

le théorème peut être utilisé pour calculer la vitesse en chaque point et achever la détermination du mouvement.

3° Le champ dérive d'une fonction de forces \J{x, y, z); le travail peut être calculé sans que l'on connaisse la trajectoire; si x^, y^, Zq sont les coordonnées de la position initiale du mobile, on a, en chaque point cp, y. z de la trajectoire,

^{mv- — mvl) = V{x, y, z) — l]{x,, y„, z,) ou

-mv-—l'{x, y, z) = ^mii — \]{x,, y„, :o) = /'-

La constante h s'appelle la constante des forces vives. Par exemple, pour un point mobile dans le champ de la pesanteur, on peut prendre

U = — ^'i^-; le théorème de la force vive exprime que ^my- -1-771^2 est constant ou que v--i~'igz est constant.

Remarque. — L'égalité

montre que, chaque fois que le mobile traverse une surface de niveau U = C, la valeur de v- est la même. La direction et le sens du vecteur vitesse peuvent varier, mais la grandeur de la vitesse est invariable.

57. Énergie cinétique. — Énergie potentielle. — Énergie totale. — Lorsqu'un point matériel est placé dans un champ dérivant d'une fonction de forces U ou d'un potentiel — U, on peut, en donnant un nom aux différents termes de l'égalité

Zffnv- — U(a*, y, z) = h^

énoncer le théorème de la force vive sous une forme plus imagée. Le

nombre ôWit"- s'appelle l'énergie cinétique du point : elle dépend de la

vitesse du mobile et non de sa position; le nombre — U s'appelle Yénergie potentielle'^^ du point : elle ne dépend que de la position du point et n'est définie, comme la fonction U, qu'à une constante

(1) Celle roDCtioD a été précédemment appelée le potenliel; c'est la notion d'énergie potentielle qui est l'origine de cette dénomination.

THAVAIL. — FORCE VIVE 373

addilive près. L'énergie totale est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Le théorème de la force vive, lorsqu'on l'applique à un point matériel qui se déplace, dans un champ dérivant d'un potentiel, sous l'action de la seule force du champ, peut donc s'énoncer de la manière suivante : Vénergie totale du point matériel est constante. Lorsque l'énergie cinétique augmente, l'énergie potentielle diminue; lorsque la première est nulle, la seconde est maximum.

58. Intégrales premières des équations du mouvement. — L'équation de la force vive peut-elle, dans le cas d'un champ de forces dérivant d'un potentiel, rendre des services pour l'intégration des équations du mouvement? Nous écrirons ces équations :

E^ = mx" — \ = 0, E., = my" — \ = 0. Ej^m:" — Z=0. L'équation de la force vive peut s'écrire

Montrons d'abord que cette relation entre les fonctions inconnues '■(0» î/(0) -(0 6st une conséquence des équations du mouvement. En effet, les deux systèmes