I) ] E, = 0, (II) E
sont équivalents si l'on suppose ^'7=0, c'est-à-dire si l'on suppose que la trajectoire n'est pas une courbe plane du plan xOy. Il est évident que l'on peut toujours admettre avoir choisi les axes pour qu'il en soit ainsi. Or, la dernière équation (II) développée s'écrit
m {x'x" -h y'y" H- ::':") — {yix'-hYy'-i-Zz')=0 ou
dt
cette équation est équivalente à l'équation (Ij et le système (I) est donc équivalent au système
(II)' Ej = 0, E, = 0. ~mv^ = l]^h.
Ce nouveau système est-il plus avantageux que le premier?
Intégrer le système (I), c'est trouver trois fonctions de t, x{t), y{t), z{t) qui le vérilient et satisfassent aux conditions initiales données. 11 BQ est, en général ainsi, lorsqu'on a obtenu trois fonctions x{t), y{t),
374 DYNAMIUI'F, Dr POINT
3(/) vérilianl le système (1) et contenant six constantes arbitraires. Il peut arriver que, avant d avoir déterminé ces fonctions, on obtienne une relation
contenant une constante arbitraire h et qui soil vériliée par toutes les solutions de (I). On dit alors que la fonction F est une inléyrtile première du système (1). On peut admettre que l'on a fait un progrès dans l'intégration des équations (l), qui contiennent les fonctions inconnues et leurs dérivées du premier et du second ordre, en substituant au premier membre de l'une d'elles une intégrale première qui ne contient plus que les fonctions et leurs dérivées du premier ordre. L'intégrale des forces vives nous permet de remplacer le système (I) par le système (IIj' obtenu en remplaçant Ej par une intégrale première.
Un autre cas général où l'on connaît des intégrales premières est celui du champ d'une force centrale. On peut ici remplacer le système (I) par le système (III)
(III) E, = 0, xEj — 3E, = 0, a^E,— :E, = 0
qui lui est équivalent si, comme on peut toujours le supposer, la trajectoire n'est pas contenue dans le plan yOz. Supposons que l'origine soit le centre des forces, on aura
xE^ — :Ej = m {xz" — zx") = m -.- (xz' — zx'),
car xZ — :X est nul, la force passant à l'origine; la seconde équation est donc équivalente à
CCZ — — zx \jq
et la troisième, à
Cq et C élan t des constantes. Le système (I) est équivalent au système (III)' qui contient deux intégrales premières
(III)' Ej^O, xz' — :a;'=:C„, xy' — ya;' = C.
On peut aller plus loin et remplacer le premier membre de l'une des deux équations du premier ordre qui figurenl dans ce système par une intégrale première ne contenant plus de dérivées. Pour simplifier les calculs, supposons que la position initiale et la vitesse initiale du mobile soient contenues dans le plan des xy, en sorte que Zj,= :g=:0. Comme Cû = a'(,:o — z^x„ = 0, la seconde équation s'écrit
j:::' — zx' = 0, ou
TRAVAIL. — VOHCE VIVE 37f5
on en doduil
Cj étant une constante définie par l'égalité :„=:C,a?„; comme z^ est nul, et que x^ peut être supposé dillerent de zéro, on voit que Cj est nul et la seconde équalicjn est équivalente à 2 = 0. Le système (I) est alors équivalent au système
La première équation exprime que la trajectoire est plane, la seconde que le mouvement vérifie la loi des aires. Nous avons vu au paragraphe 20 qu'il en est toujours ainsi lorsque l'accélération est centrale.
Si la force centrale dérive d'une fonction de forces, par exemple si cette force ne dépend que de la distance au centre, on pourra, en général, remplacer E, par une nouvelle intégrale première, en écrivant le théorème de la force vive. Ainsi, dans ce dernier cas, en prenant comme plan des xxj le plan qui contient la trajectoire, l'intégrale des aires et celle de la force vive forment un système de deux équations différentielles du premier ordre en x et y. L'intégration de ce système donne les équations du mouvement.
CIIAl'lTRt: IV EXEMPLES DE MOUVEMENTS D'UN POINT LIBRE
59. Mouvement dans un champ uniforme, — Supposons qu'un point matériel M, de masse m, soit lancé d'une position initiale Mo, avec la
vitesse V^, dans le champ d'une force F constante en grandeur et en direction : c'est le cas d'une pierre de petites dimensions lancée dans le champ de la pesanteur. Le mouvement est plan : en eflet, la projection M' du point M sur un plan fixe perpendiculaire h la direction de F a une accélération nulle; le mouvement de .M' est rectiligne et uniforme
(voir s; 18); la vitesse initiale de ce mouvement est la projection de
Vfl. Si cette projection n'est pas nulle, M' décrit une droite et M reste
dans le plan parallèle à F et passant par cette droite. Si la projection
de V(, est nulle, c'est que V^ est parallèle à F; le point M' est immobile
et M décrit une droite parallèle à F.
Mouvement rectiligne. — Le point M est lancé de M^, au temps zéro,
avec une vitesse V^ ayant la même direction que la force F. Supposons
que F soit le poids et prenons comme axe 0-, un axe vertical dirigé
vers le haut, l'origine 0 coïncidant avec M(,; V^ sera dirigé suivant la droite 0: et mesuré sur l'axe 0; par le nombre i\. Une des équations du mouvement donne •
d^z dz
dH dH dz '"d7^ = -'"^' 5F = -^' Tt~-
= -gt
or, pour
dz
- = -gt-^V,,
z=-yt'-hv,t-hc'-
EXEMPLES UE MOI VEME.NTS D l N FUINT LIBRE 377
pour/=U, z=^0; tluncc' = 0. L'équation du mouvement est
et l'on a
Si Uo^^- c'est ii-(lire si le point est hincé vers le bas ou abandonné sans vitesse initiale, «est toujours néf^atif, z décroit toujours; le point M descend sur la verticale de M^ d'un mouvement uniformément accéléré.
Si Uq > 0, la vitesse est positive pour / < -^ et s'annule au temps
^j = — ; à ce niomeut, tout se passe comme si le point était abandonné sans vitesse initiale de la position M, dont la cote est
Le point est animé d'un mouvement uniformément retardé pour t < /,,
et monte de Mo à M,; puis il descend d'un mouvement uniformément
accéléré.
On peut retrouver ces résultats en utilisant le théorème de la force
vive :
-{v^ — vl) = — Qz, v' = vl — î>gz.
Si Vq^O, le point descend, : est négatif et v augmente constamment. Si ffl > 0, le point monte au début, v diminue et s'annule pour
z = g- = -i, puis redescend. Lorsque z reprend la même valeur, y a la
même valeur absolue, puisque v- reprend la même valeur; à la montée ou à la descente, la vitesse a la même grandeur lorsque le point traverse un même plan horizontal. Les plans horizontaux sont, en elTet. des surfaces de niveau.
Mouvement curviligne. — Prenons comme plan xOj/, le plan de la
— y trajectoire : il est déterminé par la direction de V^ et par celle de la
force F, que nous supposerons toujours être le poids; 0 coïncide avec Mo, Oiy est la verticale dirigée vers le haut, Oj: l'horizontale dirigée
vers le demi-plan limité à Oy qui contient V,,. Le vecteur vitesse initiale fera donc avec Or un angle a compris entre — ^ et -h;^" et les
composantes de la vitesse initiale seront a-Q =^ V^, cos z > 0 et j/ô = VoSina. Le point M , projection de M sur Oa-, a une accélération
nulle; son mouvement est uniforme et sa vitesse est Vg cosa, réquation du mouvement de ce point M' est
x-=. Vq cosa.f.
Le point M", projection de M sur Oj/, est lancé de 0 avec la vitesse VoSina, il est soumis à l'accélération — 7, son mouvement est celui que nous venons d'étudier, il suffit de remplacer v^ par Vy sina et : par y. On obtient
y = — 2^/^H-VnSina./.
Les équations du mouvement du ]^oint M sont donc
j^ = V„cosa./, y = — ^^^^-hV^sinaJ.
Pour avoir l'équation de la trajectoire, il suffit de tirer / de la première équation et de porter la valeur obtenue, dans la seconde : on a
donc
X 1 qx^
VoCOSa' ^ 2VSC0S*a *
La trajectoire est une parabole d'axe vertical, puisque y est un trinôme de second degré en x. Le mouvement de M peut aussi être considéré comme résultant de la composition de deux mouvements rectilignes : le mouvement relatif du point M" sur une verticale et le mouvement d'entraînement rectiligne et uniforme de cette verticale défini par le mouvement de M'; c'est l'exemple que nous avons traité au paragraphe 34.
Étudions le mouvement de M. Sa projection M' sur Ox se déplace sur Ox d'un mouvement uniforme de vitesse V^cosa > 0. Si x^O, le point .M" descend d'un mouvement uniformément accéléré. Le point M décrit un arc de parabole qui ne contient pas le sommet. Si a > 0, le point M" monte jusqu'à une position M,, puis redescend; le point M, sur la parabole, monte jusqu'au sommet iM,, puis redescend. Il traverse de nouveau le plan horizontal du point 0 au poinl de chute A. Nous avons vu, dans
l'élude du mouvement rectiligne, que /, :=-2; il faut remplacer ici v^
par V„sina, donc t^^—° ; pour aller de 0 en A, sur sa trajectoire,
M mettra le temps 2/,, puisque M' décrit OA d'un mouvement uniforme.
Ce temps T, appelé durée du trajet, est donc 1=2;^ = —^
I ■ 1 • 1 • . »r i î'o VoSin^a
L ordonnée y. du pomt M, est tt^ ou -^
EXEMPLES I)K MOI VEME.NTS U UN POINT MliHI.
Le paramètre /) de la parabole est — — '■ — , car on lohlienl on pre-
nant la moitié de linverse du coefficient de x- dans son équation. La distance OD de l'origine à la directrice est
