V:-sin2a Mcos-^a V

Elle ne dépend pas de Vamjle d>' tir a. Si la vitessse a une grandeur constante V^, les trajectoires correspondant aux dilTérenls angles de tir a sont des paraboles ayant la même directrice et passant par 0. Soit M.„ le second point de rencontre d'une trajectoire et de la droite OF, F étant le foyer; on a OF = OD et M,F = M,H, on désignant par H la projection de M., sur la directrice. Donc MjO est égal à MjH-hOD et le point M^ appartient à la parabole (P) admettant 0 comme foyer et DU comme tangente au sommet; .U^Hh-OD est en efifet la distance de M^ à la directrice de (P). La parabole (P) est tangente en M^ à la trajectoire, puisque, pour chacune de ces deux

courbes, la tangente est la bissectrice de l'angle UM^H. Ainsi, les trajectoires correspondant à une même grandeur V^ de la vitesse initiale sont tangentes à une même parabole (P) et passent par son foyer 0; elles restent tout entières à l'intérieur de (P). car deux paraboles d'axe vertical ne peuvent avoir que deux points communs distincts ou confondus. Il résulte dp là qu'un point extérieur à (P) ne peut être atteint par aucune trajectoire; c'est pourquoi la courbe (P) porte le nom de parabole de sûreté.

Un point M intérieur à (P) est atteint par deux trajectoires. Propo-

380 nVNAMK^OK DU POINT

sons-nous, (mi oiïel, do délcrminer l'angle de tir a. L'cqiialioii de l.i Irajecloiro est

!/ = — 2V*(l-HlK'a)-l xlKa.

Si l'on se donnr les eoordorinées x cl y du hiil M, l'angle a esl déterminé par une érjualion du s(uu)rid degré en Iga. On voit aiHément qu'elle a des raeines lorsque M est U l'intérieur de (!'). Considérons les deux trajectoires qui passent en M ; celle qui est au-dessous correspond à la i)lus [)elile, v.'ilciir de a, donc, a la plus grande valeur di; V„eos-/.; donc la pro.jeclion de M sur (Jx a une vitesse plus grande pour la trajectoire inférieun; et atteint M' plus t6t. Kn d'autres termes, c'est le projectile r|ui suit la trajectoire inférieure qui arrive en M le [(r-eniier.

Hr.vinniur. /. — Si l'on avait pris trois axes d»; coordonnées, U: t;lanl vertical et dirigé vers le haut, les écpiations du rnouvcMiicnl.,

d^x ,^ d'il ,^ d^z

"^ dl^ = ^' '" d^ = ^' "^dl^ = ^ "'•'/'

nous auraient donné

On voit ainsi apparaître les six constantes que les conditions initiales pcîrnifllent d(! déterminer,

Ilemarf/uc II. — Les calculs précédents ne sont valaMes que pour un projeclile se mouvant dans le vide. Dans l'air, le mobile est soumis

à la résistance de l'air H, force que les expériences rîonduisent h représenter par un vecteur dirigé suivant la tangente à la trajectoire, de sens opposé à celui de la vitesse, et dont la grandeur est de la forme mcK(y), où V{v) est une fonction de la, valeur ?; d(! la vitesse et c un coellicient qui dépend de la forme du projeclile et des conditions atmo8i)l)ériques.

La trajectoire est encore une courbe jtlane : en effet, le pf)int M',

projection de M sur un plan horizontal, n'est soumis qu'à la force K',

projection de Jl; celte force est tangente /x la trajectoire du point M'; dans le mouvement de ce point, l'accélération et la vitesse sont toujours portées i)ar la mém<! droite, <lonc le mouv(!ment (!st rectilignf; (voir § 17, remar(iue Ij; la direction de celle droite est donné»; par la

projection de la vitesse initiale V^. Si ce vecteur est vertical, la vitesse et l'accélération sont nulles au point M,',, [)rojcclif)ii (bj^M^; ce point M'„ est immohilf fit la Irajectoir*; (îhI une v(!rlicale.

EXEMPLES DE MOUVEMENTS d'UN POINT LIBRE 381

Dans le mouvement rectiligne, on a, avec les axes choisis plus haut,

dH ^ R .

il faut prendre le signe h- pour lo mouvement descendant et le signe —

pour le mouvemont ascendant. Si - =cF(y), il y aura deux cas à

distinguer suivant que F(y)est une fonction paiie ou impaire. Si F(t'] est une fonction impaire, F(— u) = — F(u). on aura

— = -r,-cV{v)

et celte équation unique conviendra à tous les cas; on peut prendre par exemple Y[v)=z\v-"^\ A étant une constante positive et m un entier.

Si F(t') est une fonction paire, F — r) = F(u), on prendra

pour le mouvement ascendant; et

pour le mouvement descendant : Véquation différentielle du mouvement aura deux formes différentes correspondant aux deux phases du mouvement. Il en sera ainsi pour F(r) = Ay-".

Dans le mouvement curviligne, cette particularité ne se présente pas parce que le nombre v ne change pas de signe.

La résistance de l'air modifie profondément le mouvement. La trajectoire n'est plus une parabole, mais possède une asymptote verticale. La fonction ¥{v) est, dans la pratique, représentée par une table de ses valeurs numériques, déduites de lexpérience. et ne peut pas s'exprimer simplement par des fonctions élémentaires. L'intégration théorique des équations du mouvement est remplacée par une intégration approchée.

60. Force centrale attractive proportionnelle à la distance. — L'accélération étant centrale, nous avons vu au paragraphe 20 que le mouvement est plan. Le plan de la trajectoire est déterminé par le centre des forces 0 et par la vitesse initiale V^, si ce vecteur ne passe pas par 0. Dans ce plan, le mouvement s'effectue suivant la loi des aires et, par suite, le rayon vecteur OM tourne toujours dans le même sens. Si la direction du vecteur V^ passe par 0. le mouvement est rec-

tiligne et a lieu sur la droite OMo, M^, étant la position initiale du mobile.

Mouvement rcclil'Kjne. — Soit 0.r la droite que décrit le mobile, x^ l'abscisse de M^: x,', la valeur algébrique de la vitesse initiale;

le nombre ([ui mesure la force sur le rayon OM, k étant positif. Une des équations du mouvement est

m -rpr = — kx ou 777î + '^ -^ = ^'

en posant — =:co-. Cette dernière équation dilTérentielle est linéaire et

à coefficients constants. Pour l'intégrer, nous chercberons des solutions particulières de la forme e", À étant une constante qui doit vérifier l'équation

À- -f- oj- = 0 d'où À = ± oj i ;

l'intégrale générale est alors

X = C,e""' -+- C^e-''"' = C cos w < 4- C sin oj ^

si l'on pose C = C, -h C, et C = i(Cj — Cj. Déterminons C et C à l'aide des conditions initiales, en faisant t = 0 dans les égalités

dx a?^ C cosio^ -h C sinoj^, 777=^ — wC sinw/H-wG' coswi;

il vient

et l'équation du mouvement sous forme finie est a' = XnCosco t -i — smuit.

C'est un mouvement vibratoire simple dont la période est — et

l'amplitude yx^-] — 'j. On voit que la période est indépendante des

conditions initiales. En particulier, si le point est abandonné sans vitesse initiale, ic^=:0, l'équation du mouvement est

a?^ XqCOSoW.

Au bout du temps — , le mobile revient à son point de départ et se

retrouve dans les mêmes conditions qu'au début. Il oscille indéfiniment autour de 0, l'amplitude des oscillations est Ir^j. On exprime le fait que la durée de l'oscillation est indépendante de l'amplitude, en disant

EXEMPLES DE MOUVEMENTS d'uN POINT LIltllF, 38^

que les oscilintions sont isoc/irones. Le lliéorèirie do la force vivf donne

ou

v' = x'^' — <„'{x- — xt);

il permet de calculer la vitesse en fonction de l'abscisse; la valeur absolue de v ne dépend que de x-\ la grandeur de la vitesse est la même à l'aller et au retour à une même distance de U. Les surfaces do niveau sont d'ailleurs des splioros de centre 0 et l'on sait que la grandeur do la vitesse est la même chaque fois qu'on traverse une surface de niveau.

Mouvement curviligne. — Prenons deux axes rectangulaires ou

obliques. Ox, Oy dans le plan déterminé par 0 et V,,. Le point M', projection, faite parallèlement à Oy, de M sur Ox est attiré par 0 avec la force mesurée par — kx et le point .M", projection, faite parallèlement à Ox, de M sur Oy est attiré par 0 avec la force mesurée par

— ky, puisque — x et — y étant les composantes de MO, celles de

A' -Mo sont — kx et — kij.

On a donc

x' x = Xf,cosojl -\ — '^sinco/,

y = y^ cos 10 ^ -h — sin (o / ,

en désignant par x„, y^, les composantes de la vitesse initiale V^^.

Ces équations sont les équations du mouvement sous forme finie. Si, en particulier, on prend comme axe des x l'axe OM^ et comme axe

des y, l'axe parallèle à \q, on aura x^ > 0, y^) = 0 et x'i, = 0, î/,'j = V^, > 0. Les équations deviennent

X^=Xf^COS(.<)t,

on en déduit

équation d'une ellipse rapportée à deux diamètres conjugués : c'est la trajectoire du point M; elle est parcourue suivant la loi des aires et le rayon vecteur tourne toujours dans le même sens, celui de Ox vers Oy

UY.NAMIQLt: Dr POINT

puisque j/i est positif. L'ellipse est décrite dans le temps ~- indépendant des conditions initiales.

Les longueurs des demi-diamètres conjugués dirigés suivant Ox cl Oy

sont OMo=a^o <?' <)P„=^". La

vitesse initiale est égale au produit to.Ol*^, du nombre m par la longueur du demi-diamètre conjugué de 0M„. Celte propriété est applicable à un point quelconque M de la trajectoire, puisqu'on peut prendre ce point comme position initiale; en efl'et, si, en M, on lance le mobile avec la vitesse qu'il a sur la première trajectoire, il décrira une trajectoire confondue avec la première. Un a donc V^co.OP, OP étant le demi-diamètre conjugué de OM. Menons le vecteur

0.;? égal à V, ce vecteur est porté par OP et l'on a r^p = w; or, le point

p décrit l'hodographe du mouvement, donc, cette hodographe est une ellipse bomothétique de la trajectoire avec le rapport d'homothétie o) et le centre d'homothétie 0.

Remarque. — Appliquons le théorème de la force vive; le travail élémentaire est

— krdr =r (/

et Ion a

ou

Mais - = ()P et ?'i=OM. La somme OM'-h UP' est constante. On

retrouve un théorème de géométrie : la somme des carrés des longueurs de deux diamètres conjugués est constante.

Appliquons le théorème des aires : la vitesse aréolaire est constante; cette vitesse est mesurée par le même nombre que l'aire du parallélogramme OMV/9. et, comme 0;j=:a).OP, l'aire de ce parallélogramme est égale au produit par w de Taire du parallélogramme construit

EXEMPLES I)K MOUVEMENTS D LN l'Ol.NT I.IHUE

sur ()M el OP. Celte dernière aire est dune c<JusUinte et l'on retrouve un llK'orènio de ^t'-oniélrie : l'aipc du parallélogramme conslruit sur deux diamètres conjugués est constante.

61. Mouvement vibratoire amorti. — Mouvement apériodique. — SupposDHs que le mobile M se déplace dans un niiiicu qui oppose à son mouvement une résistance proportionnelle à la grandeur de sa vitesse, loi qui, pour les petites vitesses, est d'accord avec les expériences. Nous nous placerons dans le cas où le point est soumis à une force centrale passant par 0 et lancé, d'une position initiale M^, avec une vitesse dont la direction passe par 0, ou abandonné en ce point Mo sans vitesse initiale.

Le mouvement est rectiligne, car la projection M' du point M sur un plan perpendiculaire à 0M„. ayant en M'j une vitesse et une accélération nulles, est en équilibre en ce point. Le point Mé étant fixe, le point M se déplace sur OMq.

Prenons la droite OM^ comme axe des x et supposons la force centrale attractive et proportionnelle à la distance : elle sera mesurée sur Ox par — mojV. La résistance sera mesurée par 2À7nx', X étant une constante numérique positive et l'équation du mouvement s'écrira

mx ^^ — m uj'x

OU

T/.x' -h bj-x^O.

Cette équation dilférentielle linéaire à coefficients constants a une intégrale générale dont la forme dépend des racines de l'équation caractéristique