H-2Àr H- oj

lorsque le facteur a est petit, l'expression À- ^ w^ est négative, les racines "sont imaginaires; lintégrale contient des lignes trigonométriques. Si a- — w- est positif, les racines sont négatives, l'intégrale est une somme d'exponentielles à exposants négatifs.

1" Cas. — A < w. Posons oj- — '/r^^u-^^ les racines de l'équation caractéristique sont — À dz'w,; l'intégrale générale est

x = e~"(Ccosojj/-i- C sinco,/). -

el l'on a

x' = e""^'[(oj,C' — /X) coso)^l — (wjC -h /.C'j sin OJ,/].

Calculons C et C en exprimant que, pour / = 0, x et x' prennent les valeurs x^, et x'»; nous aurons

C — Xq,

MATH. GÉNLn.LEP. — II.

d'où

= e >'6r,,cosco/ + ?î^:tÀi^.sinc..,/y

L'expression entre parenthèses peul se mettre sous la forme A sin((.i,^ -f- 9), A désignant ramplilude et -^ la phase initiale, ([ue l'on détermine par identilication. en posant

Asm'^:=a7„, Acos-i^ — ■ -,

on en tire, en particulier,

Les égalités

x = Ae"s\n{ot^l-\-.'^), x' := — Ae-'''[Àsin(c),<-h'-f') — c.)^cos(a>/ -+- ^)]'

montrent que le mouvement est une vibration amortie voir paragraphe 22). La vitesse x' s'annule pour les valeurs de f qui satisfont il l'équation

ces valeurs sont de la forme t, -+- A-^; le sens du mouvenienl du mobile

change à des intervalles de temps égaux à — ; les oscillations sont

EXEMPLES l)K MOI VI.MKNTS II IN l'OINT MltltE

encore isochrones, la diiréo T, d une oscilltilion eomplèle est T, = — ^ ■

elli' i-'sl plus longue que la (Jur(''i' T (Je roscillation non amorlie puisque

Vw*

Les amplitudes des demi-.oscillalious décroissent en progression géométrique, car les élongalions maxima et minima de x sont de la

forme Ac ^ ' -, la raison de la progression est e -, le facteur '■ '^ correspond à une oscillation, c'est le coefficient de réduction pour deux maxima ou deux minima consécutifs; > s'appelle le fadeur d' amorlissemont .

La variation relative de la durée de la période, due à l'amortissement.

est faible. Supposons par exemple que le coefticient de réduction f '^

soit égal à ^ ce qui correspond à un amortissement rapide; nous avons

en négligeant lei termes suivants du développement en série de la racine carrée, puisque (^') f^t égal à environ un centième. La varia-

tion relative de la période, —-s, - = -^( (^-' j , ne dépasse pas 0,0()6.

Construisons le diagramme du mouvement; la courbe est toujours comprise entre les deux courbes en pointillé o^, = ifcAe""; elle est alternativement tangente, à chacune d'elles, à des intervallçs de temps

égaux à ^-, car. aux époques pour lesquelles sin((o,f -i- o) est égal

à ±1, les valeurs de x et a' sont respectivement égales à celles de x^ et jj.

2" Cas. — À>co; appelons — /.j et — >.,, les racines négatives de l'équalion caractéristique. L'intégrale est de la forme

X = C^e "'-' -+- C^e-'-', avec

La vitesse s'annule une fois au plus lorsque

Si \ > >v,, cette équation a une racine t^ quand Q et C^ sont de signes contraires et n'en a pas lorsque ces nombres ont le même signe. Lorsqu'on a dépassé la valeur /,, le mobile se rapproche constamment

388 DYNAMIQUE UV POINT

et indéfinimenl de Torigine; si /, n'existe jias, le mobile se rapproche conslaninienl de Torigine, dès le dt'l)ul du mouvement. Il n'y a pas doscillalion, on dit que le mouvement est apériodique.

62. Mouvement vibratoire troublé par une force périodique. — Supposons qu'aux forces précédentes vienne s'adjoindre une force dépendant du temps et mesurée sur Oj' par mf{l), nous obtiendrons le cas dune vibration, amortie ou non, lroul)lée par une force fonction du temps. Nous nous placerons dans l'hypothèse, fréquente dans la pratique, où la force extérieure est périodique, sans amortissement, et nous distinguerons deux cas, suivant que le mouvement primitif est une vibration simple ou une vibration amortie.

/*''■ Cas. — Le mouvement propre est vibratoire simple. L'équation du mouvement est

a-" + oro- = P sin ( yJ -I- ^),

en désignant par Psin(a/H-p) la force périodique. L'équation dilïérenlielle admet une intégrale particulière de la forme Bsin(a< + P); en substituant, on trouve

or — a"

en supposant o)^<x. L'intégrale générale est

X = A sin (co t-\-'j^)-T-B sin (y.t-+-H). et l'on a

x' = Aw cos(co/ + o)-\- BaC0S(a/ + f5).

Déterminons les constantes A et o à l'aide' des valeurs initiales A'y, a*,' :

A sin Ci -h Bsin^ = Xo.

A to cos Y + B X cos [i = a?„.

On déduit de ces équations

A2 = (3?^, — B sin \if H- ~ «, — B a cos pf.

A étant calculé, sin ^ et cos o s'obtiennent aussitôt.

Le mouvement du point M résulte de la composition de deux mouvements vibratoires de périodes différentes. Le ])remier est la vibration

propre de période T=— , le second est dû à l'inlervenlion de la

force périodique, c'est une vibration qui a même période T, := — que la force. On peut représenter le mouvement du point M en utilisant

EXEMPLES DE MOUVEMI.NTS I) L'N POINT LIBRE

les vecteurs lournanls comme nous l'avons fait au paragraphe '.ii.

Soient OA et OB, deux vecteurs de longueurs A et B et tournant dans leur plan d'un mouvement uniforme autour de 0, le premier avec la vitesse angulaire o>, le second avec la vitesse x. Au départ, les vecteurs font, avec un axe Cwe (hj, les angles f «4 3; à l'instnnt /, les angles

ex:

\Vn\^

Utf \

sont w/H-o et xt-v-'^ et la projection, sur l'axe 0:r perpendiculaire à Oj/, du quatrième sommet C du parallélogramme construit sur OA et OB est le point mobile M.

L'angle BOA = (w — x)l-\--:; —3 varie avec le temps. Le parallélogramme se déforme et s'aplatit périodiquement; l'amplitude OC varie périodiquement de la valeur B — A|à la valeur B-hA; c'est cette variation périodique qui porte-le nom de battement. La période des

battements est . — — — ;; la fréquence des battements est égale à

(o — a ^ ^ =iN — N, [, c'est-à-dire à la différence des fréquences N

et N, des mouvements vibratoires composants.

Étudions le cas où o> et a sont très voisins. Nous supposerons que, a étant fixe, o> tende vers x. Pour simplifier les calculs, désignons par X, et x[ les valeurs de x et x' au temps t^ pour lequel la force périodique est maximum: la phase ^^ = xt^-^'^ correspondant^ sera égale

à ^, à un multiple de 2tt près. Comme on peut prendre l'instant /, pour origine des temps, l'amplitude A sera donnée par la même équation que précédemment : il suffira de remplacer r,. x'^^ |i par r,, x[, ^ •

On a ainsi ^=.

l orsque o leud vers a. H augmente indéfiniinenl puis({u'il contient o — a au dénominateur. Nous pouvons diviser par i B — ,i\)- les deux membres de légalité précédente, il vient

(B — a:,f~ ^co«(B — a;,)-^'

dans le second membre, le second terme tend vers zéro puisque t»

tend vers a = U et que H — x^ augmente indéllniment, donc a-— — a

pour limite 1; A et B — r, sont des infiniment grands équivalents; il ^^n est de mT-me de A et B, car B et B — x\, sont équivalents. D'autre part.

(B — .v^ — A^ = — ^L, <»■ ou

r(BH-A — a-,)'

le second membre a pour limite zéro, donc B — A a pour limite x^.

Ainsi, quand w est voisin de a. la dillérence B — A est voisine de x^.

L'amplitude OC varie périodiquement dune valeur voisine de x^ à une

"^-^ valeur A + B très grande; la période des battements, — ~ — ., est ici ^ *^ a — (o I

très longue; le parallélogramme OABC se déforme très lentement, il

paraît tourner dun mouvement d'ensemble avec la vitesse angulaire o

ou a.

2'' Cas. — Le mouvement propre est tin moucement vibratoire amorti. L équation différentielle du mouvement est

x" -+- 2À.r' H- (.o'x = P si n ( a / -h ;î ), 0 < /. < w.

La solution générale est

x=z Ae "sin(oj, /-f- i) -+- Bsin(a/-f-y),

dans laquelle A et o sont des constantes arbitraires déterminées par les conditions initiales j„, xi, du mouvement et B sin(a/-|-Y), une intégrale particulière de l'équation avec second membre. Pour déterminer cette dernière intégrale, substituons Bsin(a/-i-v) à x dans l'équation; nous aurons

(t.)-— x-)B sin(x<-f- Y)-l- 2ÀaBcos(a/-i-7) = Psin(a<-i-fS).

Pour calculer B et •;, faisons, dans cette identité, x/h-y = 0, puis