EXEMPLES DE MOIVEMENTS D IN POINT LIBRE
il vient
d'où l'on déduit
2/ aH=Psin(;i — y), [o2— 7.=')B=Pcos(fi — y),
(or — a"'')* -+- 4a'- a* ' li étant calculé, on obtient aussitôt les valeurs de sin(^ — y) ^^
cos(fJ — Y).
Le mouvement de M résulte de la superposition d'une vibration propre amortie et d'une vibration non amortie ayant la même période que la force et d'amplitude B. Lorsque le temps augmente, la première vibration s'éteint peu à peu et la seconde demeure seule. Si a est voisin de (o et si, en même temps, À est petit, l'amplitude H devient considérable. Mais elle reste Unie, lorsqu'une de ces deux conditions au moins n'est pas remplie. Si l'on redoute l'oscillation finale, on prendra a difiérent de m et un facteur d'amortissement assez fort; si, au contraire, on veut entretenir l'oscillation, on prendra, à la fois, un faible amortissement et des périodes voisines.
63. Phénomènes de synchronisme. — Nous venons de voir que, lorsque la période de la vibration propre du mobile et celle de la force introduites sont différentes, l'amplitude du mouvement de M est de l'ordre de grandeur des données. Si ces périodes sont voisines, l'amplitude du mouvement de M, au contraire, peut devenir très considérable. C'est cette augmentation de Tordre de grandeur de l'amplitude qui caractérise le phénomène appelé synchronisme. Suivant que les grandes amplitudes sont utiles ou nuisibles, on cherche à produire ou à éviter ce phénomène de synchronisme.
Le cas du point matériel, que nous venons d'étudier, est important, parce que la dynamique des systèmes et la physique conduisent à des équations semblables et. par suite, les phénomènes de synchronisme s'introduisent dans de nombreuses questions.
Dans le cas du balancier d'une pendule, dont l'oscillation s'amortit nécessairement, on entretient le mouvement par des actions synchrones. Ici, le synchronisme est utile.
Les vibrations propres d'un pont peuvent être entretenues par le pas d'une troupe en marche sur le pont. Si les périodes sont voisines, les oscillations peuvent devenir dangereuses.
Pour une voiture de chemin de fer, il se produit un fléchissement des ressorts chaque fois qu'une roue passe d'un rail au suivant; si la période de ces passages est voisine d'une période de vibration propre des ressorts, l'oscillation de ces ressorts s'amplifie et devient pénible.
392 DYNAMIQIE DU POINT
Il en est de même pour une automobile qui reçoit, sur une mauvaise route, des secousses dont la période est voisine d'une période d'oscillation propre de ses ressorts. Dans ces deux derniers cas, on munit les ressorts de suspension des voitures, d'appareils amortisseurs destinés à augmenter le facteur d'amortissement À.
64. Force centrale inversement proportionnelle au carré de la distance. — L'étude de cette loi de force centrale est importante parce que le mouvement obtenu est celui du centre de gravité d'une planète. Le mouvement est plan puisque l'accélération est centrale; le plan de la trajectoire est déterminé par le centre d'attiaction 0 et le vecteur
V,, : nous supposerons (jue la direction de ce vecteur ne passe pas par le point 0 et nous laisserons de côté le cas du mouvement recliligne. Soient r et 0 les coordonnées polaires du point M dans ce plan, 0 étant le pôle et l'axe polaire Ox étant arbitrairement choisi; nous prendrons-
m désignant la masse du point et a une constante positive. Le mouvement s'effectue suivant la loi des aires, donc
C étant la constante des aires, c'est-à-dire le double de Taire balayéepar le rayon vecteur dans l'unité de temps; par hypothèse, C uest pas. nul.
Le champ de force dérive d'une fonction de forces; on a
/ , , mfxdr , /mu.
'j (r) dr =^ '—i — = a
La fonction de forces est —^', Le théorème de la force vive exprime que-
1 , mu. , , .
r^mv- — — - est constant, ou que
Les équations (I ; et (i), qui sont du premier ordre en r et 0, déterminent le mouvement; elles proviennent de deux intégrales premières des équations du mouvement et contiennent les deux constantes G et A que l'on détermine par les conditions initiales :
C = )■% = r„y*' , h = vl — '^, u", désignant la composante de la vitesse initiale suivant taxe %-hz)'
KXE.MI'LES l)K MOI VEMK.NTS I) IN POINT MHIlE 393
En remplaçant w' par s(in expression en coordonnées polaires, on ()l)ti('nl les (■(jiiations
La première équation est du premier degré en dh et en dl. Si on en lire dt pour le porter dans {•!), on obtient une équation en r, dr, dh qui est l'équation dirtérenlielle de la trajectoire. Si on en tire dh pour le porter dans (2), on obtient une équation en r, dr. dt dont l'intégration nous donnera /• en fonction du temps, r = f{t). L'équation de la trajectoire nous permettra ensuite de calculer 0 en fonction du temps, f)^ij(t).
hélermination de lu trnjecloire. — L'équation (l) donne
et, en portant dans (2), -
dr'* + iHb^ 2a h^
ou
r\dh} ^r='~C-r ,->: \^^\ 1 2a h /l a\5
Supposons p; -hp-^=r=0 et faisons le changement de variable
d'où l'on dt'duil
?' /a* , /? rfu
rfô ~~ V L* "^ C- ' (JÔ '
a'^ h (3) devient, en divisant les deux membres par J-r-h —
ou
-±idH^ ==: ;
— \ 1 — uen intégrant,
Hh 1 0 — 3c I ^ arc cos u .
u z=z cos(0 — a),
394 DYNAMIQUE Dl' POINT
a étant une conslanle; par suite,
14) |: = gi-^\/^*-^^.cos(0-a):
celte équation, qui est de la forme
(5) - = --+- -COS(0 — a),
représente une conique de foyer 0, de paramètre v et d'excentricité e.
Supposons maintenant k; -h pï = U, l'équation i. S) devient
cette égalité exige que les deux conditions
qui sont compatibles, soient vérifiées; la Irajecloiro est alors un cercle de centre 0 et cette solution rentre dans la solution générale donnée par l'équation (4). Pour que l'on soit dans ce cas, il faut que
ou
Ur, r:, = (c':.y-i-(v;f
la condition devient
au.
ou
Cette relation exige que v'l = 0, &[^±i/lt..
La vitesse initiale doit être perpendiculaire au rayon vecteur et sa grandeur égale à \/'^. Ce résultat était à prévoir, car si la trajectoire
est circulaire, l'accélération, qui est normale à la trajectoire, est
y* égale à -, et, pour la position initiale, on a
ou y;; = ±y^, puisque v^ = v1,.
