KXEMPLF.S DE MOI VEMKNTS I) IN POINT LIBRE
Dans le cas général, calculons le paranièlre p et l'excentricité e de la conique. Écrivons pour cela que les é(iualions (4) et (5) représenlenl la même courbe; il faut que
I en (7)
on en déduit
Le signe de c- — 1 est le même (jue celui de h. Donc, comme h est égal à cf, — ^,
si l'I — ^ > 0, e > 1, la conique est une liyperbole;
2a si vl ^ ^ 0, ^ =; 1 . la conique est une parabole ;
si u* ^ <0, e < 1, la conique est une ellipse.
Ainsi, le genre, de la conique dépend de la grandeur de la vitesse initiait' et non de son orientation.
Remarquons que, lorsque h est positif, le mobile ne décrit qu'une des branches de l'hyperbole : c'est la branche qui tourne sa concavité vers le point 0, puisque l'accélération est dirigée vers le point 0 et quelle est toujours située dans la concavité de la courbe.
Calcul des coordonnées en fonction du temps.
Pour calculer r en fonction de t, il faut éliminer rfO' entre (1) et (2).
L'équation (1) donne
,, Cdt
et, en portant dans (2),
[drV C* 2a , \dlj r- r
ou
-•^'^')' = Ar2 + 2ar — C2, dt= '■^''
;hr- ^ 2a r — C"
Le calcul de la primitive du second membre conduit à des expressions différentes suivant le signe de h. Supposons, par exemple, h négatif, c'esl-à-dire la trajectoire elliptique. Nous allons exprimer h et C- au moyen des éléments a et e de l'ellipse, a désignant If demi-
grand axe. Il nous suflira, pour cela, de résoudre les éiiuations (0) et (7) qui donnent, en divisant membre à membre,
d'où
L'i'quation ((>) s'écrit
i.- ^ 'X p =^ <x — = ' (a- — C-) = -j.a{ï — e-}. Le trinôme placé sous le radical devient
et
a yja'e'' — {a — r)-
Comptons le temps à partir du moment où le mobile passe au sommet A du grand axe le plus rapprocbé de 0, point que nous appellerons le périhélie comme dans le cas du mouvement du centre de gravité d'une planète, cas où le point 0 est le centre de gravité du soleil. Le sommet opposé A.' sera, pour la même raison, appelé V aphélie. Le rayon vecteur r varie
de
OA = a — c = a ( l — e)
donc, a — r varie de ne k — ne et Ton peut faire le changement de
variable
n — ?' = f/ecosu, O^u^Sît; d'où
(lr-=. ae sin udu et
rg^^--^^(^-^^QS^)"^"^"^^'^ = a(l-ecosuWu.
^a^e^ — la — rf aesinu
Nous avons pris comme origine des temps, le moment où le mobile
EXEMPLES DE MOUVEMENTS d'iN l'OlNT LIHHE 307
passe au périlit'Ho A, r va croître ainsi que u; nous prendrons donc le signe -t- devant le radical et nous aurons
- y/^rf/ = (l — ecosM)(/u,
en intégrant et remarquant que u et / s'annulent on même temps,
(8) ijl = u — esinw avec n = -\/'--
L'équation (8) s'appelle Véqxialion de Kepler. La durée T de la révolution du mobile s'obtiendra en faisant w = 27r, d'où
T = ^ = 2r:flv/-n V IX
Donnons-nous une valeur de l comprise entre 0 et T; l'équation de Kepler,
f[u)^u — esin!< — »/=0,
nous donnera une valeur unique de u comprise entre 0 et 27:; en efl'et f [u]= 1 — e cosu est positif, d'autre part,
donc f{ii) s'annule une fois entre 0 et 2-. La racine u calculée, on en déduit /■ par l'égalité
r = a{i — ecosw),
et 0 — a. par l'équation de la trajectoire
