EQUILIBRE ET MOUVEMENT DU POINT MATÉRIEL NON LIBRE

65. Point matériel non libre. — On dit qu'un point malériel placé dans une région de l'espace est non libre lorsqu'il ne peut occuper toutes les positions dans cette région. Un point.assujetti à rester sur une surface (S) ou sur une courbe (L) est non libre. Si le point a la forme

d'une petite boule M, on pourra le supposer placé entre deux surfaces très voisines (S) et (S'); si le point est simplement posé sur la surface (S), il faudra tenir compte du fait qu'il est libre de quitter la surface. Dans le cas d'une courbe, on peut supposer que le point M a la formedunpetil anneau traversé par la courbe: si le point a la forme d'une petite boule, on pourra imaginer que la courbe a la forme d'un canal de petit diamètre, dans lequel le point est placé. Si le point est simplement posé sur la courbe, il faudra tenir compte de la possibilité, pour le point, d'abandonner cette courbe.

66. Réactions des supports — Principe de l'action et de la réaction. — Supposons qu'un point matériel pesant soit placé sur une table

horizontale. Il est en équilibre sur ce support et soumis à son poids P;

la table joue le même nMe qu'une force R égale et directement opposée

à P. Nous dirons que la tal>le exerce sur le point M une réaction R. C'est la région de la table voisine de M qui exerce cette réaction, nous

EQLILIimE ET MUI XKMINT lil POINT MATÉHIF.L NON LIBRE 309

dirons qu'elle est exercée par Ir point M île la table qui est au conluel de M.

Newton a énoncé le priiieipt- expérimental suivant qui se vérifie directement et par ses conséquences :

Si un poinl matériel A exerce sur un point inati;rii'l X' une force F dirif/ée suivant la droite AA', le point A' exerce sur le jtoint A une force F' directement opposre II F.

L'une de ces forces, F ou 1", s'appelle Vaction, l'autre, F' ou F, s'appelle la réaction. Le principe de Newton porte aussi le nom de principe de Vaction et de la réaction.

Le point M de la talde exerçant sur le point M une réaction H, le

point M exerce sur .M . d'après le principe de Newton, une actifjn Q,

égale et directement opposée à K, c'est-à-dire é^ale à P. Les deux

vecteurs P et Q coïncident, mais il itnporte d'observer que la force P a

comme point d'application le point M l't que la force Q a comme point d'application le point M . La force Q s'appelle la pres.iion du point M sur son appui.

Soit encore un point pesant M suspendu à une extrémité d'un lil inextensible et flexible dont l'autre extrémité 0 est fixée. Si O.M pend verticalement, le point M est en équilibre: le fil exerce donc sur le

point M une réaction R égale et directement opposée au poids P du point M. Inversement, le point M exerce sur le point .M , extrémité du

fil tendu, une action O égale à P. Celte force Q s'appelle la tension du fil.

Heinarqw I. — Lorsque le point M est placé entre deux surfaces voisines, ou dans un canal de petit diamètre, ou lorsqu-'il a la forme

d'un anneau traversé par une courbe indéformable, la direction de H est sans importance. Il n'en est plus de même si le point M est posé sur

une surface ou maintenu par un fil. Dans le premier cas, il faut que Q

appuie le point sur la surface, c'est-à-dire (jue K soit dirigé du coté

de la surface qui contient .M; dans le second cas, il faut que Q tende le fil qui, par hypothèse, n'oppose aucune résistance à la i-qmpression

puisqu'il est flexible, c'est-à-dire que R soit dirigée de M vers 0.

/lemarrjue II. — Nous supposons, dans les exemples qui précèdent

comme dans les suivants, que les forces Q ne sont pas assez considé-

UYXA.NriQLi: l)V l'OlNT

ral>les pour amener la rupture des supports; (J ne doit ni briser la table dans le premier exemple, tii casser le til dans le second.

67. Lois du frottement au r.epos- — Supposons, que le point pesant .M soit placé sur un plan, incline d'un angle a sur l'horizon. Lexpérience montre que l'équilibre subsiste tant que l'angle a ne dépasse pas une valeur limite -f. Lorsque a> o, le point se met à glisser sur le plan incliné.

. ~^ Supposons .a^^; la réaction R du plan est égale et directement

opposée au poids P; cette force est la résultante dune réaction N normale au plan et d'une force T contenue dans le j)lanet dirigée suivant

une ligne de pente. On a tga = :j^ et, comme tgjc ^ tg o = /', on a

j^^/" ou T^^^. Un pourrait

aussi décomposer le poids P en

— >- -> deux forces T' et N' respective-

ment opposées à T et à N. La

force T' tend à faire glisser le

point sur le plan, la force T s'oppose à ce glissement. En fait, la surface plane, si on la regardait au microscope, montrerait une série de saillies dont le nombre et la grandeur donnent à

cette surface une rugosité plus ou moins grande. Le point M, au contact

— > <ie ces saillies, est soumis à une réaction oblique 11. C'est celte rugosité

qui donne lieu au phénomène appelé froilcnvrnt. L'angle maximum ç. s'appelle Yangle de frottement et sa langenle /" est le coefficient de frottement. L'expérience montre que langle j ne dépend pas de l'étendue de la petite surface par laquelle le point M est en contact avec le plan. Il ne dépend que de la matière et de la nature des deux surfaces en contact, du degré de poli du plan par exemple; plus le plan est poli, plus l'angle =. est petit. On peut encore diminuer ^ en lubrifiant la surrace du plan, en la^ rendant glissante, avec de l'huile, par exemple, si le plan est en métal. Si le plan est parfaitement poli, l'angle s. est très voisin de zéro, le frottement est négligeabli*, la réaction R est normale au plan. On dit, brièvement, qu'il n'y a pas de frottement.

KQUILIBRE ET MOUVEMENT DU l'Ol.M MATÉlUEL NON LIBHE 401

Voici quelques valeurs de i et de f.

stnsiANi'.KS •:;

Bois sur bois Sec.

— Savonneux.

Métal sur métal Sec.

— Humide.

Cuir sur métal Sec.

— Humide.

— draissê.

U" à 26" 1/2 2" à iri/2

Supposons maintenant que le point M soit placé sur une surface (S)

quelconque et désignons par F la résultante des forces appliquées à ce point. Dans le voisinage de .M, nous pourrons remplacer la surface par son plan langent; nous voyons qu'il y aura équilibre tant que

l'angle x de 1" avec la normale à la surface sera inférieur à o. Considérons le cnne de révolution qui a comme axe la normale n^hi à la

surface et dont le demi-angle au sommet est -v. Ce cône est appelé le cône de froHement. Pour qu'il y ait équilibre, il est nécessaire que la force F soit à l'intérieur du cône de frottement. Si le point est posé

sur la surface, il faut encore que F soit contenue dans le demi-cùne situé du C(Hé de la surface qui ne contient pas le point.

Si le point M est placé sur une ligne (L), on peut, dans le voisinage de M, remplacer cette ligne par le plan tangent perpendiculaire au plan /MF,

formé par la force F et la tangente /'M/; pour l'équilibre, il faut que

l'angle a de la force F et de la normale »M»' à ce plan soit inférieur

MATH. GENEBALEP.

402 DYNAMIQIE DU POINT

à .f-, donc que l'angle de la force el de la tangenle t'Wt soit supérieur à ;j — f. La force F doil donc être extérieure au cône de révululion

qui a tomnie axe la tangente et conmie demi-angle au souinu't ^^ — ci.

Ce cône joue ici le rôle de cône de frottement.

Dans chacun des cas précédents le rapport ^, de la composante de F

tangente à la surface ou à la courbe à la composante normale à cette surface ou à cette courbe ne dépasse pas /'. On peut donc énoncer les Inis du frottement à l'état de repos de la manière suivante.

Pduv (jit'un pdinl matériel plac' sur loie .siufacr ou nue nnirbr sait

en équilibre sous l'oction d'une force F, il faut et il suffit ijne le rapport

^ de la composante de F lanrjente à la surface ou à In courljr à lu

composante de F normale à la surface ou à la courbe ne dépasse pas le

coefficient de frottement et que, quand il y a lieu. F soit diriçiée de manière à appuyer le jjoint sur la surface ou sur la courbe.

Lorsque V, = fF^j, c'est-à-dire lorsque F est placée sur une génératrice du cône de frottement, on dit que le point M est en équilibre limite.

Exemples. — Si un point matériel M, de poids p, est placé sur une table horizontale et tiré horizontalement par un til. il demeure au repos tant que la tension du fil ne dépasse pas pf. Si le point est une petite bille en bois posée sur une table en bois, f pourra varier suivant les

cas de 7 à T^ et la tension maximum sera comprise entre ^ et v

Si le point M est placé à l'intérieur d'une coupe hémisphérique dont le grand cercle formant le bord est placé horizontalement, il sera en équilibre en tout point de la calotte sphérique intérieure au cône de révolution dont le sommet est le centre de la sphère, l'axe vertical et le demi-angle au sommet égal à o.

68. Lois du frottement pendant le mouvement. — Soit encore N la — /■ composante normale et T la composante tangentielle de la réaction

de la surface ou de la courbe sur le point M. Pour une surface, T est

dans le plan tangent à M; pour une courbe, T est dirigée suivant la tangente. Les lois expérimentales du frottement pendant le mouvement sont les suivantes.

1" La force T a la même direction que le recteur vitesse du point M el le sens opposé.

ÉQUILIBIIK KT MOI Vr.MKNT Df l'OI.NT MATKIUIX NON LIBrtE 403

2" Llnleusili' T est tmi jours ri/filc à /"N.

— >- Il iiii|H)rtt' lit' rcmaniiuM- que la force N varie, en général, avec la

position du point M; l'intensité de la force T varie de manière que le

rapport ^ reste constaininenl égal h f.

Si la valeur de /"est très l'aihle, el si N ne devient pas trop considf'--

rallie, on poiirr;i négligei- la Ibrci^ T. La réaction de la surface ou de la courbe est alors normal»'; on dit, brièvement, qu'il n'y a pas de rrottemeiil.

/:x(-iiiplcs. — Supposons qu'un point M soil lancé sur une surface (S) el ne soil soumis à aucune force autre ([ue la réaction de la surface.

Le point |>eut être considéi'é comme libre et soumis aux forces N et T;

j)uisque T est porté par la tangente à la trajectoire (C), et que la résul-

tante de N et T est dans le plan osculateur de la trajectoire, le plan

osculateur à la courbe contient ces deux vecteurs IVi et T. Ce plan osculateur à- (C) est normal à la surface (S). Les courbes tracées sur une surface (S) et telles que leur plan osculateur soit normal à la surface s'appellent les lignes f/i''mlrsi(jiii's de cette surface. Les trajectoires (C) sont donc des gcodésiques. Sur une sphère, les lignes géodésiques sont les grands cercles; sur un cylindre, ce sont les hélices. Les lignes géodésiques possèdent la propriété d'être le plus court chemin qui joint deux de leurs points lorsque ces points sont assez rapprochés. On voit que la forme des trajectoires ne dépend pas du coeflicient de frottement; celui-ci n'intervient que pour modilier la loi du mouvement sur la trajectoire.

Supposons encore que le point M soit lancé à l'intérieur d'un petit tube (L; et ne soit soumis à aucune force autre que la réaction de la

ligne (L). Le plan osculateur à (L) est déterminé par les vecteurs N

et T. Donc la réaction normale est dirigée suivant la normale principale à la courbe.

69. Mouvement d'un point pesant snr un plan incliné. — Supposons qu'un point pesant M soit placé sur un plan incliné (P) au point 0 et abandonné sans vitesse initiale, ou lancé du point 0 avec une vitesse représentée par un vecteur contenu dans le plan. Le point va rester sur le plan, car, s'il l'abandonnait, il devrgiit décrire un arc de parabole d'axe vertical, tangente au plan et, par conséquent, tout entière audessous de ce plan. Cela est impossible, donc M reste dans le plan et la composante de son accélération, normale au plan, est toujours nulle.

Donc, la composante, normale au plan, de la résultante des forces qui agissent sur le poini est toujours nulle et

iN — N' = N — ?»^cosa = 0;

N est donc constamment égal à m^cosa.

Le point M se déplace dans le plan (1^) sous Paclion : 1" de la force

T' = 7?j(/sina constante en grandeur et en direction : cette direction est celle des lignes de pente; 2° de la force Tr=:/'N r=z/>?!^ cosa constante en grandeur, mais dont la direction est celle de la tangente à la trajectoire.

Bornons-nous au cas où la vitesse initiale est nulle ou dirigée suivant une ligne de pente du plan. Dans ce cas, le point M décrit cette ligne de pente. En effet, la projection M' du point .M sur une horizontale a, au début, une vitesse et une accélération nulles puisque la vitesse et les forces agissant sur M sont dirigées suivant la ligne de pente du point 0. M' est en équilibre et M décrit cette ligne de pente.

/er f;(is — j^Q vitesse iiiitiale est nulle. — Si x^o, le point M reste immobile. Si a > -i, le point M va descendre sous laction de la force

T' — T ^ ing sin a — fmg cos a ^ mg i sin a

sin

coso

cosx

sin (g — y

COS'i

car T' > T. Le point est soumis à une force constante en grandeur et en direction. Il descend, le long de la ligne de pente, d'un mouvement

uniformément accéléré dont raccéléralion est g

sin (a — Ci)

COScû

2-" Cas. — La vitesse initiale est dirigée vers le has. commence par descendre. On a toujours

T, rr sin(a — *)

Le point

cosa.

Le point est soumis à une force constante dirigée vers le haut si T' < T, c'est-à-dire si a < cj-, et vers le bas si T' > T, ou x > cp.

r.Ql ILIHUE I:T mouvement I)L' l'OlNT MATERir.r- NON LIFUtK

Si a < j, la force 1' est supérieure à T'. lo point est soumis à l'acct;léralion conslaiil»'

T — r sin(g, — a) .

m "^ cosci ' '

dirigée vers le iiaul. il descend d'un mouvement uniformément retardé jus({u"au moment t^ où la vitesse s'annule. Nous sommes alors dans les conditions du 1"'' cas. Comme a < 9, le point est en équilibre.

Calculons /, ; la vitesse au temps / est V,, — •//, si V„ est la grandeur de la vitesse initiale; elle s'annule pour

^'0 VqCOS <p

\7sin('i — a)

Si a > *., la force T' est supérieure;! T, le point est soumis à laccélération constante

T— T sin( = 0