COS
dirigée vers le bas. Il descend indéfiniment d'un mouvement uniformément accéléré.
Dans le cas liinite où x = o, T=:T', le point n'est soumis à aucune force, son mouvement est uniforme.
.?" Cas. — La vitesse iniliale est dirir/ée vers le haut. commence par monter. La
force T, opposée à la vitesse, est dirigée vers le bas, comme
la force T'. On a T -r-T' = m(j (sinz -h/cos7.):= sin(a-|- -^)
Le point
coso
Le point monte d'un mouvement uniformément retardé, sa vitesse, V„ — Yi'î s'annule au temps t^ donné par
COSo-
g sin(a4-'i)'
A linslant /,, nous nous retrouvons dans le premier cas. Si ^t^-j. le mobile s'arrête. Si a > -y, le mobile descend d'un mouvement uniformément accéléré avec l'accélération •;.
Cas on le frottement est ni-f/ligeable. — Dans ce cas, le mobile est soumis à la seule force J' ^mgsïny.. Il est placé dans un champ uniforme plan. Si la vitesse initiale a une direction quelconque, M décrit
une parabole dont l'axe est une ligne lic penle. Si la vitesse initiale est dirigée suivant une ligne de pente, le mouvement t-sl rectiligne; il a été étudié au paragraphe 59.
70. Mouvement sans frottement d'un point pesant sur un cercle vertical. — Pendule. — Supposons (junn point matériel M. de masse /;j, S(»il assujelti à rester sur une circonférence de centre. () dont le plan est vertical. On peut supposer que .M est une petite bille lancée dans un tube circulaire, ou un anneau traversé par la circonlérence. On peut aussi supposer que le point M est relié au point fixe 0 par un til tendu OM et qu'il est lancé, de la position initiale M„, avec une vitesse dirigée suivant la tangente au cercle vertical de centre 0 et de rayon OM = /. Je dis que, dans ce cas, le point M se déplace sur ce cercle vertical; en effet, ce point est soumis à deux forces, son poids mg dirigé suivant la verticale descendante et la réaction du til, force dirigée suivant .MO. La projection M' de M sur un plan horizontal, celui du point 0. par exemple, est soun)ise seulement à une force centrale, projection de la réaction; comme la vitesse initiale, projection d'une vitesse tangente au cercle, passe par le point (>, le point M' décrit la droite <)M', et le point M reste dans le plan vertical considéré. Quand M est relié au point 0 par un til tendu, on dit que l'on a un pendule simple.
Prenons un axe 0: vertical dirigé vers le bas; le théorème de la force vive va nous donner le mouvement, puisque, d'une part, nous connaissons la trajectoire et que, d'autre part, la réaction de la circonférence, étant normale à cette circonférence puisqu'il n'y a pas de frottement, a un travail nul. Le théorème de la l'orce vive a, pour celte raison,. la même expression que si le point était libre dans le champ de la pi'sanleur :
ou
en posant
Traçons la droite (D), horizontale de cote a; nous distinguerons deux cas suivant que i D) coupe le cercle ou ne le coupe pas.
/'"■ Cns; (D) ne Coupe pas le cercle, il faut pour cela que a < — l ou que
<-/, vl>^g{z,-^l).
EgUILIBRK KT MOUVEMENT 1)1 POINT MATKHIEL NON LIBRE 407
Kans ces coiidilions, v ne s'annule jamais; sa valeur absolue varie entre un minimum ^-2g{—l — a) et un maximum y/iipit — a); le CDJ a.
mobile tourne toujours dans le même sens sur le cercle, le mouvement est révoiutif; la vitesse est, à chaque instant, la même que si le mobile tombait librement du plan horizontal de (D).
2" Cas; (D) coupe le cercle aux points A et A'; nous supposons v;, < %(;„-h /) et le point M^ lancé, par exemple, vers le bas. Le point M décrit le cercle jusqu'en .\' où la vitesse s'annule, puis retombe et remonte jusqu'en A et ainsi de suite; le mouvement est oscillatoire ou pendulaire. Une oscillation est composée d'une allée de A en A' et d'une venue de A' en A. La durée de l'oscillation est le temps mis par le mobile parti de .\ pour aller en A' et revenir en A.
Calcul de la réaction. — Désignons par N le nombre qui mesure la réaction de la circonférence sur la direction positive .MO de la normale principale. L'équation intrinsèque du mouvement relative à la normale principale donne, si nous projetons les forces sur la direction .MO,
mg cosO,
en désignant par 0 l'angle de CM avec 0:, compté positivement vers la droite. Comme on a . .
3 = /cosO, r-^27 : — a),
celle équation devient
N=iï22(.„) + ,„,= = 7(3.— 2„) = ?'^(:-|>. •
Traçons la droite (A), horizontale de cote T^a : N est positif et le
408 DYNAMIQUK DU POINT
point appuie sur le cercle, lorsqu'il est au-dessous de A, N esl négatif
et le point tire sur le cercle lorsqu'il est au-dessus de A.
Lorsque le point M est suspendu par un fil, c"est-à-dire dans le
cas du pendule, l'hypothèse que N est négatif ne peut être admise.
car le fil est supposé flexible. Lorsque N s'annule, le fil lléchit. la
réaction disparait et le point M est libre. Examinons donc dans quels
cas N peut changer de signe. Si le mouvement est révolutif, a est
négatif et (A) est au-dessous de (D); pour que (A) ne coupe pas le cercle,
il faut que
Si cette condition est remplie, le fil reste tendu et le point M tourne autour de 0: c'est le mouvement de la fronde.
Si '^gizo-^ l) <vl<2g{Zff-\-—\, (D) ne coupe pas le cercle et le
mouvement est révolutif, mais (A) coupe le cercle en B et B'. Lorsque M arrive à l'un de ces points, le fil se détend et le mobile se meut d'abord comme s'il était libre.
Si i^^ < %(r„-i- /j, le mouvement est oscillatoire, (A) est au-dessous ou au-dessus de (D) suivant que a esl négatif ou positif. Si a esl négatif, c'est-à-dire, si vl > 2^S(„ (A) coupe le cercle en B et B' audessous de^ D. le fil se défend en l'un de ces points. Si o est positif, c'est-à-dire si '- < igz„. (A) est au-dessus de (D^, le fil reste tendu de A en A'.
Remarque. — Lorsque le point M arrive en B par exemple, et que le fil se détend, le mobile esl libre sous l'action de la pesanteur; il décrit un arc de parabole dans le plan vertical du cercle. Celle parabole esl tangente au cercle au point B', puisque le vecteur vitesse est langent au cercle et à la parabole : la directrice esl la droite ! D), puisque la vitesse initi-ale, sur la parabole, esl la même que si le mobile tombait du plan horizontal de (D). La parabole et le cercle ont la même courbure en B', puisque N étant nul. la force est la même dans les deux mouvements et par conséquent les accélérations normales sont identiques : en d'autres termes, le cercle 0 est le cercle de courbure de la parabole au point B'.
Le point .M décrit la parabole jusqu'au moment où il se trouve à la
KQIILIBUK KT MOI VKMENT IH l'UlNT MATKRIKL N(JN lAUni. 40'.f
dislancp / <lu puinl t>: alors I*' lil si- tétiil liius([UiTiif'nl et l'on a à étudier un proMcine de choc.
Petites oscUlalions. — horhronisme. — IMarons-nous dans le cas où la vitesse initiale r„ est nulle; le point M,, joue alors le rôle de l'un des points A ou A', de A par exemple; on a ici t = :„. le mouvement est oscillatoire car (D) coupe le cercle: le fil reste toujours tendu si
0,,^^ , il se détend en IV si 0„ > ^^ car i A) est au-dessus de (D) si :„ est
positif et au-dessous de (D) si :„ est négatif. Supposons que 0„ ait une valeur petite, l'angle 0 variera entre -i- 0„ et — 0,^; nous remplacerons l'équation des forces vives par l'une des équations intrinsèques du mouvement qui est ici plus commode :
dv .,
Or, l', = — inrjs'xn'), si l'on prend comme sens positif des arcs celui
, . , . , jdb , dv ,d-') ... ,. ,
(\u\ correspond a 0 croissant; v ^= I ^ et -tj=zI-j-^: I équation duv
mouvement devient
^, = -ys.nO.
Si f)„ est petit, sinO peut être remplacé par h dans l'équation et l'on a
équation difTérentielle dont l'intégrale générale est
0 = o„ ces y/^ t -^ e;, y/^ sin y/^ / .
Or, 0', = 0, donc
0=0,jCos\/^/.
Le mouvement est périodique, la durée T dune demi-oscillation est donnée par
T ne contient pas 0, donc : La durée d'une petite oscillation est indépendante de Son amplitude.
On dit que les petites oscillations sont isochrones : cela signifie que leur durée ne dépend pas de la grandeur de 0„.
Oscillations finies. — Si 0„ n'est pas très petit, la substitution de 0 à
410 DYNAMIQUE Dl l'OlNT
sinO iniroduil une erreur daulanl plus imporlanle que Oy est plus grand. Reprenons l'équalion des forces vives
