V- ^ 2(/(: — :•„) = ^^/(cosO — cosO

Dautre pari, c = ' ^^^ . do»*-*

l[^y = ^^'.li^os(j-cos%).

i nous parlons du point A' correspondant à la valeur — O^, langle 0 )sit (/O

croit avec l et -t? est positif peudanl la première demi-oscillation ;

^^^ = y/-|vcosO — cosO„,

rfo

V ^-'-i v>^(cose — cosOj * !?-'*» \:2(cos(

'v-icosô — cosOj '^ g J <>o ^:2(c'os0 — cosO^)

La durée T der la demi-oscillalion est exprimée par une intégrale elliptique. Sa valeur, pour les dillerentes valeurs attribuées à 0„, est donnée par des tables numériques. L'examen de ces tables montre que

la valeur- v/- obtenue pour les petites oscillations s'applique jusqu'à

Oy^rSS" avec une erreur relative inférieure à 0,01 el-jusqu'à 0,,^ 70" avec une erreur relative inférieure à 0,1.

Petites oscillations amorties. — Supposons que le mobile M éprouve dans l'air une résistance proportionnelle à la vitesse égale à 2ÀmV; l'équation intrinsèque du mouvement utilisée pour les petites oscillations devient

,nl-rT = — "2 /. ?» ' T. — ma ^\n 0,

dl- dt -^

ou, en remplaçant encore sinO par 0,

dt-^" dt^ l' — ''- C'est l'équation étudiée au paragraphe 61. Il suffit de remplacera: par 0. w^ par y et de supposer nul x,j=:0„. On obtient

0 = Oo''"" ( cos w, ; -h — sin (o, t \ avec w, = \/f — >■' •

Nous supposons, ce qui correspond à l'observation, que /.* soit inférieur à i. Les oscillations sont amorties et leurs amplitudes décroissent en progression géométrique. Mais, les oscillations demeurent

KQIILimiK ET MUi:VK.MENT iJl IMHNT MATKIIIKL NON MHHK 411

isorhro)ies, leur durée "'■ élanl, du reste, conirne nous I avons vu, jteu

modiliée par la présence de la résistance.

71. Pendule cycloïdal. — Les raisonnements faits au début du paragraphe préc('denl pour étudier le mouvement d'un point pesant sur une cireonléreuce en négligeant le frottement sont applicables à une courbe (4uelconque contenue dans un plan vertical. L'équation des forces vives,

ne dépend pas de la forme de la courbe et la nature du mouvement est

liée au nombre des points d'intersection de la courbe et de la droite i D).

Supposons (|ue la courbe soit un arc de cycloide dont l'axe de

symétrie est vertical et la concavité tournée vers le haut et que le

point M soit abandonné en .\. sans vitesse initiale: a sera égal à :„ et la droite (D) sera l'horizontale de .\. Le mobile oscillera entre A et A'. Je dis que les oscillations sont ici rigoiirnnsenient isochrones, c'est-à-dire que leur durée est indépendante de l'amplitude ou de la longueur de lare AA'. Nous avons toujours l'équation

'dt

d-s 'IF

riig sinO,

en comptant les abscisses curvilignes, îi partir du sommet 0' de la cycloide et positivement vers la droite; â est l'angle de la normale MI à la courbe avec l'axe vertical 0:. Traçons le cercle générateur de la cycloïde (§ 34, 4°), I est le centre instantané de rotation, et, dans le roulement de ce cercle sur 01, la distribution des vitesses est la même que si le disque circulaire tournait à chaque instant autour de I,

on a donc

ds= nid'j = lcos()dfi, ■

4i2 KXEHCICKS SI R LK I.IVIIK II

/ désignant \v diamètre du cercle, et par suite, en intégrant,

,s- zz= / sin 0,

puisque 5 et 0 sont nuls en même temps. L'équation du mouvement du point M sur la courbe devient, en remplaçant sinO par .,

donc le mouvement est périodique simple, la période étant 2?: V/ -•