EXERCICES SUR LE LIVRE II

1. — D'un point 0, on lance verticalement vers le haut, avec la vitesse r^, un point matériel pesant. Au même instant, on laisse tomber, sans vitesse initiale, un point matériel de même masse, d'un point 0' situé sur la verticale de 0 à la distance '^g et au-dessus de ce point : rj désigne le même nombre que l'accélération due à la pesanteur.

1" Calculer l'époque de la rencontre des deux mobiles et déterminer leur position à ce moment.

2" Dans le cas où la rencontre a lieu au point 0, on suppose que les mobiles continuent leur route solidairement, la vitesse devenant, au moment de la rencontre. la moyenne arithmétique des vitesses des deux mobiles. Tracer, pour chacun des mobiles, le diagramme des espaces depuis son départ de 0 ou de 0'.

2. — A l'instant zéro, un point matériel pesant est lancé d'un point 0. dans le vide, avec une vitesse de grandeur y„. située au-dessus du plan horizontal H du point 0, avec lequel elle fait langle aigu a. Le projectile rencontre de nouveau le plan H au point 0'.

1° La valeur r„ demeurant la même, il existe une seconde trajectoire issue de 0 qui va passer par 0'. Calculer l'intervalle de temps qui sépare les arrivées en 0' des deux projectiles supposés partis simultanément de 0.

ÎL" Soient M et M' les positions des deux projectiles au même instant. Montrer que la droite MM' conserve une direction invariable et calculer la distance MM'. Quel serait h; mouvement de M' par rapport à un système de comparaison entraîné avec le point M dans un mouvement de translation?

3' Désignons par T la durée du trajet 00' sur la première trajectoire et par T' le temps pendant lequel le projectile reste, au-dessus du plan H, à une hauteur supérieure à la moitié d(^ la hauteur

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maximum ;i laquelle il s'élève. Calculer le rapport y et la diflerence

des deux valeurs de T' correspondant aux deux trajectoires passant par 0 et 0'.

;{. — Une pièce d'artillerie A a tiré un projectile qui, après avoir traversé un ballon captif B, est allé tomber en C, sur le plan horizontal (A) qui contient A, à la dislance AC = 4 000 m. de la pièce. En appelant P la projection de H sur le plan (H), on a constaté que Al» = 2 000 m. et PB = 1 000 m.

1" On demande l'angle sous lequel la pièce a tiré et la valeur v de la vitesse initiale du projectile.

2° Quelle était la vitesse du projectile quand il a traversé le ballon?

3" La nacelle du ballon détruit tombe verticalement; trouver sa vitesse quand elle arrive en P. La comparer à la vitesse précédente.

On néglige la résistance de lair et celle que le ballon a pu oilrir.

4. — On donne trois axes rectangulaires Ox, Oj/, 0:: et un point matériel M. Soient A et B les pieds des perpendiculaires MA et MB abaissées du point M respectivement sur (Jx et Oy. Le point M est soumis à l'action de deux forces P et Q. La force P est dirigée suivant MA, de M vers A; la force Q, suivant MB, de M vers B. Les intensités des forces P et Q sont données par les formules

P = 9 ?n/.:'- . MA , Q = 16 wA- . MB,

où m désigne la masse du point M et /.• une constante donnée.

1" Étudier le champ de forces résultant des forces P et Q ffonction de forces, lignes de forces, surfaces de niveau, travail pour un déplacement donné).

2" Déterminer le mouvement du point M, supposé libre, soumis à l'action des deux seules forces P et 0, et partant de l'origine 0 avec une vitesse initiale donnée. Ce mouvement est-il périodique?

3° On suppose en second lieu que le point M est assujetti à rester, en y glissant sans frottement, sur la circonférence (C) de rayon R ayant pour équations paramétriques

Dr 3R B\7 ,

ar=:RsinO, v ^ -y- cosO, : = — ^cosO.

Déterminer le mouvement du point M lancé d'un point de la circonférence (C) avec une vitesse initiale donnée. Calculer la réaction de la circonférence.

o. — Un point matériel pesant, de masse ?n, se meut dans un milieu q ui oppose une résistance représentée à chaque instant t par un

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vecleur porte par la tangcnle à la trajectoire, de sens contraire à celui du vecleur vitesse et dont la grandeur est égale à kvi\, V désignant la grandeur de la vitesse et k un coefficient positif constant.

\ rinstant zéro, le mobile est lancé d'un i)oinl 0 avec une vitesse de grandeur V„ faisant Tangle a avec un plan horizontal.

1" Déterminer la position M du mobile à l'instant /. Construire la trajectoire et son asymptote D. Feut-on choisir les valeurs de V, et de a de façon que la projection orthogonale du point M sur une verticale se déplace d'un mouvement uniforme.

-2" La tangente en M à la trajectoire rencontre la droite 1) au point T. Montrer que la grandeur V de la vitesse au point M est égale à /i.MT.

3" On suppose que le point matériel soit lancé verticalement vers le

haut et que V^ soit égal à x» y désignant l'accélération due à la pesanteur. Calculer je rapport du travail de la résistance du milieu à celui de la pesanteur, lorsque le mobile va du point 0 au point le plus élevé de sa trajectoire.

6. — Un point matériel M, de masse m, est rapporté à trois axes de coordonnées rectangulaires Ox»/:. Ce point est attiré par un centre P et l'intensité de la force attractive est égale à orm x MP, oj désignant une constante et MP, la distance du point M au centre P. Le centre attractif P se déplace sur l'axe 0: et sa cote, à l'instant t, est égale à al, a désignant une constante.

Déterminer le mouvement du point M, définir la trajectoire et Ihodographe, avec les conditions initiales suivantes :

1" Au temps /^O, le point .M est lancé du point iM,j | — , 0, 0 j avec

une vitesse dont les composantes sont (0, 0, 2a).

2° .Vu temps /=0. le point M est lancé de .M„ avec une vitesse dont les composantes sont (U,- a, 0).

7. — Étudier le mouvement d'un point pesant, de poids P, lancé vers le haut suivant une ligne de plus grande pente d'un plan incliné qui fait avec le plan horizontal l'angle a; ce point part de la position initiale 0 avec la vitesse i\ et il subit, de la part du plan, une résistance due au frottement, dont le coefficient est /.

Examiner les cas particuliers :

H. — Un plan incliné, faisant l'angle a avec la verticale, porte à sa partie supérieure une poulie très petite 0 dont le plan passe par la

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ligne de penlf^ OA du plan incliné. Dans le plan verlical AOIi. un fil llexible et inextcnsiMc, de masse nt'-gligealile, passe sur l;i poulii' et porte à ses extrémités deux pnints j)esants .M et M', de même masse. Le point M repose sur le plan incliné supposé rugueux; le coefficient de frottement est /'=tg:i. Le point M' est au bout du brin OM' qui pend librement devant la paroi verticale OB. A l'instant initial, les points M et .M' sont abandoimés sans vitesse initiale et le lil est tendu.

étudier les mouvements des points M et M'.

9. — Dons points pesants M. M', de poids p, ;/, sont attachés aux deux extrémités d'un fil inextensible. Le point .M' repose sur un plan horizontal (II); ce plan est percé d'un trou où passe le lil de façon à laisser pendre un brin au bout duquel est suspendu le point M. L'n frottement, de coeflicient /", est exercé par le plan sur le point M'.

1" Quelle est la valeur que )> ne doit pas dépasser pour que le frottement maintienne M' en équilibre.

2" On suppose le lil tendu horizontalement et le point M abandonné sans vitesse initiale; dans lliypotlièse où le point M' est toujours fixe, calculer la vitesse de M et la réaction du fil en tVmction de la distance de M au plan (H). On en conclura la condition pour que le mouvement pendulaire du point .M ne trouble par l'immobilité du point M'. On admettra que la réaction du lil, variable avec le temps, est la même à ses deux extrémités.

-10. — Un point matériel pesant .M est aJmndonné sans vitess;' initiale en un point O d'un plan incliné rugueux. Le coefficient de frottement est variable et sa valeur, en chaque point du plan, est égale au quotient, par la constante /., de la distance de ce point à une horizontale fixe (H du plan.

1" Dans quelle région (K) du plan doit être placé le point 0 pour que le point .M se mette en riiouvement?

2" Trouver le mouvement du point M loi-sque sa position initiale est sur la droite (H).

3" Étudier le mouvement du point M lorsque sa position initiale 0 est située, dans la région (R), au-dessous de i H).

11. — Sur une ligne de pente d'un plan incliné rugueux de pente f^, on place, sans vitesse, à l'époque zéro, deux points matériels pesants de même masse. M et M'; les points M et M sont réunis par un fil tendu, inextensible et de masse négligeable, et le point M' est au-dessus de M. Les coeflicients de frottement.de M et M' sur le plan sont f ei f : /"est inférieur à f.