EXERCICES SLR LE LIVRE

Kludier les dilVerenles circonstances qui peuvent se présenter suivant la valeur de /p.

On admet que, lorsqu'un til de niasse négligeable est tendu, la tension est la même en chacun de ses points.

12. — l'n fil élastique est fixé à une extréinilc, «n U, et pend verticalement. A son autre extrémité M est attaché un point matériel, de masse m. qui porte un til élastique identique, à lextréniité M' duquel est un point matériel de même masse m. Trouver la longueur de chaque fil au moment de l'équilibre. Cas de p fils égaux.

La tension d'un fil élastique tendu de longueur .r est k{Ji- — /), / désignant la longueur naturelle du fil et A- un coellicient numérique constant.

1."}. — In pendule suspendu au plafond d'un wagon de chemin de fer fait langle a avec la verticale. Quelle est l'accélération du train supposé se mouvoir d'un mouvement de translation rectiligne?

l't. Trois fils égaux de longueur AM, >1M . M P.. inextensibles et de masses négligeables sont reliés en M et M et portent en ces points deux poids égaux de grandeur P. L'extrémité A du premier fil et l'extrémité B du dernier sont fixés à deux clous A et B situés sur une horizontale et à la distance îLo. l'un de l'autre. Trouver les tensions des fils quand le système est en équilibre.

15. — Un point pesant M, de masse m, est placé sur une table horizontale rugueuse; le coefficient de frottement est /'. Ce point est attiré proportionnellement à la dislance par un point fixe 0 de la table. On le lance d'une position M,, de la table avec une vitesse dont la direction passe par (). Étudier le mouvement.

16. — Un fil élastique est fixé à une extrémité, en 0, et porte à l'autre extrémité une petite boule pesante de masse m. On amène cette boule au point () et on l'abandonne sans vitesse initiale. Étudier le mouvement en négligeant la masse du iil.

17. — Trois points matériels pesants A, O, B, de même masse in, sont réunis par deux fils élastiques identiques (>.\ et UB. La longueur naturelle de chaqu<î fil est l et Ton admet que, lorsciue ce fil est tendu et a la longueur x, la tension est égale à k(:r — /). k désignant un coefficient numérique constant.

On place ces points en ligne droite. 0 situé entre \ et B, sur une table rugueuse horizontale, après avoir tendu chaque fil, OA et OB ayant la mi'me longueur, et on les abandonne sans vitesse initiale.

l'' Quelle doit être la valeur /'du coefficient de frottement, supposé

EXER«:icEs snt i.i: Livni: ii 417

If mt''iiie puiir les trois points, pour que le système reste en équilibre tant qu<' la longueur AB ne dépasse pas lil.

2° Le coeflicient de froltemenl ayant celle valeur f. on place les points comme précédemment, en donnant à AH la longueur M. étudier les mouvements des points A et B.

IS. — L'n point pesant 1*. assujetti à se mouvoir sur une hélice «-irculaire d'axe vertical, part sans vitesse d'une position A, située à la cote a au-dessus du sol. On demande le temps /, quil mettra pour atteindre le sol et la vitesse i\ à l'instant où il y arrive. On appellera r le rayon du cercle de base de l'hélice et h son pas.

En même temps que le point P quitte la position A, on lance un second point pesant Q, verticalement à partir du sol, avec une vitesse initiale ascendante Uo telle que ce mobile Q retombe après avoir atteint la hauteur a. Avec quelle vitesse le point Q reviendra-t-il au sol? Quelle relation y a-t-il entre v^ et v^'? Dans quelles conditions les mobiles P et Q arriveront-ils au sol en même temps? Montrer que cela ne dépend que de la forme de l'hélice. Quel est, dans ce cas, l'angle sous lequel l'hélice coupe les génératrices du cylindre circulaire sur lequel elle est tracée?

19. — Vtï fil élastique, dont la longueur naturelle est /, est fixé en un point \ par une extrémité et vient passer à travers un petit anneau horizontal fixe B, de dimensions négligeables. La distance .\B est égale à /. A l'autre extrémité du fil est attaché un point matériel pesant M. La masse du fil est négligeable et l'intensité de la force exercée sur le point matériel par la tension du fil est égale à A., MB. k désignant un coefficient numérique positif constant. Lorsque le système est en équilibre, le point M occupe une position 0, telle que B0=:2/.

1" Démontrer que, quelle que soit la position du point M, la résultante des forces qui agissent sur lui passe par un point fixe.

2° On place M en un point M^ et on l'abandonne sans vitesse initiale. Étudier le mouvement de M dans les deux hypothèses suivantes : M,, est sur la droite BO, au-dessous de 0 et BM^= 3/, ou bien .AI,, est dans le plan horizontal de 0.

3" On lance M d'un point M„ du plan ABO avec une vitesse initiale normale à ce plan et de grandeur v^. Étudier le mouvement.

La valeur v^ restant fixe, où doit être placé M^ pour que la trajectoire "de M soit un cercle?

20. — Un petit anneau de poids négligeable est mobile sur une ellipse réalisée matériellement. L'ellipse est rugueuse et le coefficient de frottement est f. Le point est attiré par les foyers de l'ellipse pro-

MATH. GÉNÉHALKS. — II. 27

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porlionnellemenl à la distance, le fadeur de proporlioniialilé étant le même pour les deux foyers. Trouver les positions d'équilibre.

il. — Une fronde est formée par une pierre et un (il au l.t»ut dutiuel ci'l-te pierre est lixée. Le fil a oO centimètres de long et fait ."> tours par seconde. Lùclier ce lil de manière que la porlée soit maximum.

2:2. — Un pendule est réalisé par un point pesant M. de poids p, attaché à rextrémité d'un 111 inextensible OM dont l'autre extrémité 0 est fixe; la longueur du lil est désignée par /. Le til étant tendu horizontalement, on lance le point M avec la vitesse verticale r„. dirigée vers le haut.

1" Appliquer le théorème des forces vives au mouvement du point M ; calculer la réaction T du fil et dire si le mouvement sera révolutif ou oscillatoire.

2" Au cas où le lil cesserait d'être tendu, quel mouvement prendra le point M? Écrire les équations finies de ce mouvement. Dire si le mobile pourra, au cours de ce mouvement, venir tomber au point 0 et quelle valeur doit avoir vl pour que celle circonstance se produise.

On pourra introduire dans les calculs l'angle a que l'ait le til avec la verticale ascendante au moment où le fil cesse d'être tendu et établir la relation existant entre y. et les données t' et l.

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