CONDITIONS NÉCESSAIRES DE L'ÉQUILIBRE

72. But de la statique. — La statique a pour but l'étude des coéditions d équilibre des corps. Elle comprend la staliffue (Ju point walérïel et la sta'ique des systèmes de points matériels. Celle dernière se divise en deux parties : statique dit corps solidr et statique de^ corps déformiihles. En réalité, aucun corps n'étant parfaitement solide, la statique du corps solide n'est qu'une première approximalion de l'élude de l'équilibre des corps réels.

Un dit qu'un système de points est en équiHhy-e absolu lorsque chacun de ses points est en équilibre par rapport au système des axes tixes. Nous prendrons le plus souvent des axes liés à la terre : un sy.<-tème de points sera dit en équilibre rplatif par rapport à la terre, ou plus brièvement, en équilibre, s'il est immobile par rapport à ces axes.

Nous avons vu au paragraphe 40 que la condition nécessaire et suffisante de l'équilibre absolu d'un point matériel est que la somme géométrique des forces agissant sur lui soit nulle, et nous avons montré au paragraphe 41 que la condition demeurait sensiblement la laème pour l'équilibre relatif par rapport à la terre.

Il est évident qu'un système do points est en équilibre lorsque chacun d'eux est en équilibre. Donc, pour qu'un système de points soit en équilibre, il faut et il suffit que, pour chacun des points, la somme géométrique des forces qui agissent sur lui soit nulle.

73. Forces extérieures. Forces intérieures. — Considérons un syslème de /; points maluriols, M,, .M^, . . ., M,,. Los forces qui agissent sur un point do ce syslème, M, par exemple, peuvent être partagées en deux groupes. Colles qui sont dues à l'action, sur le point M,, de points matériels étrangers au système (poids, actions électriques, magnétiques, réactions, etc.) : nous les appellerons les forces extérieures agissant sur M,. Celles qui sont dues aux actions sur le point M, des (» — 1) autres points du système, M^, M^, ..., M„ : nous' les appellerons les forces intérieures agissant sur M,.

Les forces extérieures sont les forces dues aux actions^ sur les points du système, de points matériels étrangers à ce système. Les forces ixilérieures sont les actions mutuelles des points du syslème.

Par exemple, dans un liquide, les forces intérieures sont les actions des molécules d'eau prises doux à deux; dans un solide, ce sont les actions des molécules solides prises deux à deux, actions qui maintiennent l'invariabilité de la dislance de ces molécules.

D'après le principe de l'action et de la réaction, les forces intérieures sont deux à deux directement opposées : si on les représente par des vecteurs, la résultante générale du système de vecteurs obtenu est nulle et le moment résultant de ce système est partout nul. Donc :

Le système des vecteurs forces intérieures est équivalent à zéro.

Les forces extérieures peuvent être mesurées expérimentalement, les forces intérieures échappent aux déterminations expérimentales: c'est pourquoi il est utile d'obtenir des conditions d'équilibre qui ne fassent pas intervenir les forces intérieures.

74. Conditions nécessaires de l'équilibre. — Considérons un système de ?! points matériels en équilibre et désignons par (S ) le système des vecteurs forces extérieures, par (S,) le système, équivalent à zéro, des vecteurs forces intérieures, et par (S) le système de tous les vecteurs forces, tant intérieures qu'extérieures, agissant sur tous les points.

Le système (S) est équivalent à zéro puisqu'il est formé par la réunion de n systèmes équivalents à zéro : ce sont les systèmes formés par les forces qui agissent sur chaque point matériel.

D'autre part, le système (S,) étant équivalent à zéro, le système (Se), qui s'obtient en supprimant d'un syslème (S) équivalent à zéro, un autre système (S,) équivalent à zéro, est lui-même équivalent à zéro. Donc :

Pour quun système de points matériels soit en équilibre, il est nécessaire que les forces extérieures forment un système de vecteurs équivalent à zéro.

CONDITIONS NKCKSSAIIIES DK LKQIILIBaK 421

Le tiléorèmo précédent énonce une condition d'équililtre universelle,

«•n ce sens qu'elle est applicable à un syslèmL' quelconque de points

inalériels. L'expression analytique de celle condition donne les six

coitdilions né'i'ssuires de Vi-quilibn'.

Soient, en elVel, X, Y, Z, I>, M, N, les composanles de la résullanle -> — V

générale OR et le mornenl résullanl OG du système (Sj, pris à l'origine

des coordonnées. Les vecteurs OR et OG devant être nuls, t)ii a les six

équations

E.vempl^:s. — Considérons de l'eau dans un verre placé sur une table; le système de points matériels formé par l'eau est en équilibre; les forces extérieures sont : les poids des particules deau, les réactions des parois du verre, les actions de lair sur la surface libre. Le système de toutes ces forces est équivalent à zéro.

Soit encore le système de points matériels formé par le verre; les forces extérieures sont : les poids des particules du verre, les réactions de l'eau sur les parois qu'elle touche, les actions de l'air sur les parois qu'il touche, les actions de la table sur la portion de paroi qu'elle touche. Le système de toutes ces forces est équivalent à zéro.

Soit entin le système formé par le verre et l'eau; les forces extérieures sont : les poids des particules de verre et des particules d'eau, les actions de l'air, les réactions de la table. Les actions et les réactions de l'eau et de la paroi intérieure du verre sont ici des forces intérieures.

Remarque. — La condition nécessaire précédente, que nous appellerons la condition universelle d'équilibre, n'est pas toujours suffisante; par exemple, appliquons aux extrémités d'un fil élastique rectiligne deux forces directement opposées et tirant sur le fil; elles forment un système équivalent à zéro, mais le fil n'est pas en équilibre, il s'allonge.

Nous verrons, au chapitre suivant, que la condition générale de l'équilibre est suffisante dans le cas d'un corps solide.

75. Fractionnement d'un système de points matériels. — Considérons un système de n points matériels en équilibre. Si nous prenons le sysième formé par ;; de ces points, ce système sera aussi en équilibre, et le système des forces extérieures appliquées à ces p points sera équivalent à zéro. Il importe de remarquer que les actions, sur lès /> points considérés, des n — p points restants du système sont maintenant des forces extérieures.

42i STATIQIE

DaDS l'exemple du système formé par un viire empli d'eau et posé sur une table, on peul considérer séparément le système formé par l'eau : les pressions exercées sur l'eau par les parois du vase sont alors des forces extérieures.

Lorsqu'on partage un- système en systèmes partiels, on obtient de • nouvelles conditions d'équilibre toutes nécessaires. Si elles sont remplies pour tous les fractionnements possibles, le système est évidemment en équilibre puisqu'on peul. en particulier, prendre le système formé par un point quelconque du système.

Quand un corps est fo;mé par la réunion de plusieurs pièces ou organes, il est souvent commode d'appliquer la «ondition d'équilibr»- à chacun des organes. On peul ainsi souvent déterminer les actions mutuelles de ces organes.

Le fractionnement permet aussi de préciser les actions intt'rieures d'un système. Considérons, par exemple, un fil tendu, de masse négligea.ble., et en équilibre sous l'action de deux forces d'intensité P directement opposées, appliquées aux extrémités .\ et B du fil. Soit M un point du iil, et considérons la portion AM du lil : elle est en équilit»r..'.

Les forces extérieures sont la force P appliquée en A et les actions sur AM de la partit^ MB du fil. Ces actions, toutes dirigées suivant \H,

forment avec P un système équivalent à zéro; on peut les remplacer

par une force T directement opposée à P et appliquée en M. Cette.

force T est la tension du fil. On voit que, en deux points quelconques du til, les tensions sont des forces égales.

cil AIMÏ|{|; Il