Réduction
à trois forces. — Soient 0, A, B, trois points
__^ quelconques appartenant au
solide. Nous remplacerons
chaque force F du système (S) par trois forces passant respectivement par 0, A, B.
B Supposons d'abord que F ne soit pas dans le plan U, A, B.
En utilisant au besoin l'opération r. nous pouvons admettre que son point d'application M est extérieur à ce plan; les droites MO, MA. MB
forment un trièdre. Par l'opération II, nous pouvons remplacer F par
trois forces /',, [.,, /j, dirigées suivant les arêtes du trièdre et dont F est
fs
EguiLimii; du i;oiu's solide
la somme géométrique. La force /", sera appliquée en (), la force /j sera
appliquée en A, et la force /'^ sera appliquée en B. Si la force F est dans le plan OAB, nous joindrons MA et MB et la remfilacerons par deux
forces l'y t\ appliquées en A et B; ici, /", sera nulle.
En répétant cette série d'opérations pour chacune des» forces qui
furnienl le système (S), nous obtiendrons n forces f^ appliquées en (), n forces f\ appliquées en A, n forces [^ appliquées en B.
Par Topération il, nous remplacerons les n forces /', par leur résultante R, les n forces f^ par leur résultante P, les n forces /j par leur
résultante Q. Le système des trois forces P, (J. H pourra être substitué au système (S-, sans que l'état du corps soit modifié, puisqu'on est passé de ce système à celui des trois forces par l'application répétée d'opérations élémentaires.
Le choix des trois points 0, A, B est arbitraire pourvu qu'ils déterminent un plan. Donc :
On peut remplacer un système de forces agissant sur un corps solide par trois forces, appliquées en trois points arbitraires du corps non situés en ligne droite.
80. Réduction à deux forces. — Supposons donc le système réduit 'fi
aux trois forces, P, Q. Fi, appliquée^ respectivement aux p )ints A, B, 0. Les plas déterminés par 0 et P d'une part, par 0 et Q d'autre part,
•i26 ST.vTnjri:
ont au moins une droite commune A puisque le poinl 0 leur «"^t commun. Soit i2 un point arbitrairement cijoisi sur A.
Par l'opération II, on peut remplacer P par deux forces P, et P., dirigées suivant AO et Ai>, dont P est la sioiime. De la même manière, on peut remplacer Q, par une force Q, passant en 0 et une force O2 passant en LJ. Il nous reste actuellement trois forces R, Pp Q,, concourant en 0 et deux forces, P,, Q, concourant en û. Par l'opération 11, on peut remplacer les forces R, P,, Q,, par leur somme F appliquée au
point de concours 0 et les forces P^, Q, par leur ?omme <!• af'pliquéf au point de concours il. Donc :
On peut remplacer un système de forces atjissant sur un corjis solide par deux forces, le point d'application dr l'une d^elles étant urbitr,,ireinent choisi dans le corps.
Ainsi, ({uelque grand que soit le nombre des forces qui agissent sur un corps solide, on peut toujours leur substituer deux forces convenablement choisies, sans que l'état du corps soit modifié.
81. TiîiORÈJiE. — Les opérations élémentaires la'issent invariables- la résultante générale et le moment résultant.
En d'autres termes, lorsqu'on applique à un système (S) un certain nombre d'opérations élémentaires, on obtient un système (S) qui a même résultante générale el, par rapport à un point quelconque de l'espace, même moment résultant que le système (S).
Il suffit, pour le démontrer, de faire voir que l'opération I et lopétion II n'allèrent ni la résultante, ni le moment résultant, car l'opération r résulte de deux opérations I.
Soient OR la résultante générale el OG, le moment résultant, au
point 0, du système (S). Le vecteur OR est la somme géométrique des
vecteurs OF,', QK, ..., OF^,, égaux aux vecteurs F,, F, !'„.
L'addition ou la suppression de deux vecteurs dont la somme est nulle
ne change pas OR, puisqu'on peut remplacer, dans une somme géométrique, deux vecteurs par leur somme. Ici, cette somme est zéro.
De même, le vecteur OG est la somme des vecteurs 0(j,, 0G.„ . . . , 0G„.
moments de F,, F^, ..., F„, par rapport à 0. L'addition ou la
suppression de deux vecteurs dont la somme est nulle ne change pas
0(j, puisque les moments correspondants sont aussi deux vecteurs
—y —y dont la somme est nulle. Donc, l'opération I n'altère ni OR, ni OG.
KOI iLiHRf; i)i' noiu's soMDi: 427
—^ — *• -^ F'assoiis à rijptM'ation II. Supposons i\iio les v»*cleiirs F,, F,, F^soionl
•concouranls et rtMiiplarons-Ies par leur souiine F. Alors, OF^. OF;^, Ol'i sont remplacés par leur somme el nous sav(jns «jne cela n'altère pas
OU. De même, d'après le théorème établi au paragraphe (iO, les
moments O'j^. Otî^, OG. sont remplacés par leur somme el U(jî demeure
le même. Donc, ropéralion 1! n'altère ni (JR, ni 0(i.
Kn répétant autant de fois qu'on le veut les opérations I, l et W. on
modilie le système (S), mais les vecteurs OK el 00 demeurent invariables.
Conséquetiee. — Nous savons que, par l'application répétée des opérations élémentaires, on peul remplacer tout système de forces (S)
par deux for<'es F et <!•. La résultante générale el le moment résultant
du sy^^tème de ces deux forces sont les mêmes que pour le système (S).
En particulier, si le système (S) est équivalent à zéro, il en est de
même du système F, «t. La somme géométrique de ces forces étant
nulle, ces forces sont opposées el forment un couple élémentaire. Le moment résultant est l'axe de ce couple; comme ce moment résultant •est nul, le bras de levier du couple est nul el les forces sont directement opposées.
82. Équilibre du solide libre. — Pour qu'un solide soit en équilibre, il est nécessaire que le système (S) des vecteurs forces qui lui sont appliquées soit équivalent à zéro.
Supposons celle condition remplie; nous pourrons, sans changer
l'état du corps, remplacer (S) par deux forces V et <\> directement opposées. L'expérience montre qu'un solide soumis à deux forces direclemenl opposées el placé au repos, demeure au repos; cela nous conduit à admettre le nouveau principe :
Principe. — - Un solide soumis à deux forces direclemenl opposées et placé au repos, resle en équilibre.
Donc, si le système (S) est équivalent à zéro, le solide, placé au repos, reste en équilibre : il demeure au repos.
On dit aussi que les forces qui constituent le système (S) se font équilibre sur le corps solide ou, plus brièvement, que le système (S) est en équilibre.
La condition d'équilibre, nécessaire pour tout système matériel, est suffisante pour le solide et l'on peul énoncer. le théorènîe suivant :
Théorèmk. — Pour qu'un corps solide placé au repos reste en iu/uiUhrey il faut et il suffît que le système des forces extérieures appliquées à ce solide soit équivalent à zéro.
Expression analytique de la condition d'équilibre.
Soient \ = ï:X. Y = XY,, Z=:ï:Z,, les composantes de OR, et
— > LrrzïL,, M = ilM,, N = -N,, les composantes (le 00, 0 étant l'origine
des coordonnées et les notations étant celles du paragraphe 8 et du
paragraphe 7 4. Pour que le système (S) soit équivalent à zéro, il faut
et il suffit que
X = 0, Y = 0, Z = (); L = 0, M=0, *N=0. Ce sont les conditions analytiques de l'équilibre.
Remarque' 1. — Daprès le principe précédent, nous pourrons
supprimer les forces F et <!•; le solide, placé au repos, reste en équilibre; donc, un solide qui n'est soumis à aucune force extérieure et qui est placé au repos reste en équilibre. Le résultat est le même que pour un point matériel.
Inversement nous pouvons substituer au principe énoncé au présent paragraphe le principe suivant : un solide placé au repos, qui n'est soumis à aucune force extérieure, reste en équilibre. Le principe énoncé s'en déduit aussitôt.
Remarque II. — Comme nous l'avons indiqué au paragraphe 9, il n'existe pas de solide invariable. La conception du solide invariable est une conception abstraite que, dans une pre-mière approximation, nous substituons à celle d'un solide réel peu déformable. Lorsqu'un tel solide est soumis à deux forces directement opposées, il «e déforme un peu avant de demeurer immobile. Le système des forces intérieures se modifie et, en chaque point d'application d'une force extérieure, ["équilibre s'établit entre cette force et les forces intérieures appliquées à ce point. Ceci suppose que les forces extérieures ne soient pas assez considérables pour amener la rupture du corps.
Remarque III. — Supposons que le système (S), en équilibre sur un solide, soit formé par la réunion de deux systèmes (S') et (S") : on dit
que ces systèmes s'équilibrent. Soient OR', OG', la résultante générale
et le moment résultant de (S'): OU", OG", les éléments correspondants
pour (S"); puisque le vecteur OR, somme géométrique de OR' et OR",
est nul, les vecteurs OR' et OR" sont directement opposés; puisque le
Kni'ILlHIti: Dr COHI'S SOLIDK
vecteur OG, somme géométrique de OG' el OG", est nul, les vecteurs
OG' et OG" sont directement opposés. Ainsi :
Pour qur deux si/s(èuies di' forces appliifuées à un solide s' équilibre ni, il faut ft il suffit que leurs résultantes générales soient directement opposées et que, en chaque point, leurs moments résultants soient directement opposés.
Remarque IV. — Lorsqu'un système (S) est en équililjro, le momont résullant par rapport à un axe quelconque A est nul. En cfTet, le
momonl résultant 0(i par rapport à un point 0 de A est nul; or, le moment résultant par rapport à A est le nombre qui mesure sur cet
axe la projection de OG : il est donc nul.
83. Équilibre dun système de trois forces. — Soient V^, F.^, Fj trois forces dont les lignes d'action sont distinctes; prenons un point lixe A
sur la ligne d'action de Fj et non situé sur la ligne d'action de F,; le
point A el la droite qui porte F', déterminent un plan P. Soit A un a.ve
-de ce plan, passant par A. Les moments de F, et de F.^ par rapport à A sont nuls, puisque A rencontre les lignes d'action de F, et F^. Le moment résultant, par rapport à A, du système des trois forces se
réduit au moment de F^. Si les forces se font équilibre, le moment résultant est nul, donc aussi le moment de F3. Par suite, F., el A sont
dans le même plan. Si on fait tourner A autour de .\, on voit que F.esl située dans le plan P. Ainsi les forces F^ et F3 sont dans un même plan, ce plan contient un point quelconque A de la ligne d'action de F;, donc il contient F^. En définitive, les trois forces sont dans un même plan.
Supposons que deux des trois forces, F, el F^ par exemple, 60 ren-
430 STATIQLi:
conlrenl en B. alors IV doit être diroctonitiil opposée à la somme do l\ i't \'\ construite on B, donc F, passe par B ot les trois forces sont concourantes. Si l'on construit la résultante générale, on voit que F,, F^. F3. sont des vecteurs égaux au\ trois c«Més d'un triangle parcourus successivement dans un sons déterminé. Réciproquement, si les l'orcessont concourantes et égales aux côtés d'un triaii<^le dont le périmètre est parcouru dans un sens déterminé, elles sont en écjuilibre, car chacune d'elles est directement opposée à la somme géométriquo des deux autres.
Supposons maintenant que deux quelconques des trois forces ne serencontrent pas. Les trois forces sont parallèles. Gomme la résultante
générale est nulle, il faut que deux dos forces, F, et F., par exemple, aient
/^ ^ le même sens et la troisième Fj, le
/ 2 sens opposé. L'intensité de cette
,'^2 force est la somme des intensités des-
"'^-^ / deux autres.
7/ Soit B un point de F3, les moments-
de Fj et de F^ par rapport à B sont
directement opposés, puisque le
moment résultant est nul et que le — >moment de F3 est nul. Donc le point B doit être dans la l.iiiide
limitée par les lignes d'action de F, et F.,. En d'autres termes, F, passe
entre F, et F,. D'autre pari, il faut que
F,xBM, = F^xBH,, ou ïJ^j-^M"'
BU, et BH^ étant les dislanc^s de B aux deux forces. Si on mène par R une sécante quelconque, coupant en Bj et B^ les lignes d'action des
L>r> TMI
forces, le rapport ttô^ est égal au rapport |^„' et on peut écrire
