SYSTEMES DE FORCES EQUIVALENTS SIR UN SOLIDE

La condilion est suffisante : Supposons que (S) et (S') aient ménic résultante générale ot mémo moment résultant en un point 0 (et par suite, en tout point, comme il résulte immédiatement des formules du paragraphe S). Appelons (S") le système formé par des forces direclement opposées à celle du système (S'). Supposons le corps soumis aux forces du système (S) : nous pourrons, sans changer son état, lui ajouter toutt^s les forces des systèmes fS') et (S"), car cela revient à appliquer l'opération 1 autant de fois qu'il y a de forces dans (S;. Les systèmes (S) et (S") se font équilibre, puisque la résultante générale de (S"), opposée à celle de fS'), est opposée à celle' de (S) qui lui est égale et le moment résultant, au point 0, de (S"), opposé à celui de (S'), est ■ opposé à celui de (S) qui lui est égal. Par l'application répétée des opérations élémentaires, c'est-à-dire sans changer l'état du corps, on peut enlever toutes les forces des systèmes (S) et (S"j qui se font équilibre. 11 ne reste plus que les forces de (S'), et, comme l'état du corps est demeuré le même, (S) et (S') sont équivalents.

Remarque I. — La démonstration montre que, si deux systèmes sont équivalents, on peut passer de Tun à l'autre par l'application répétée d'opérations élémentaires. On obtiendrait donc tous les systèmes équivalents à un système donné en appliquant à ce système, un nombre arbitraire de fois et dans un ordre arbitraire, les opérations élémentaires.

/iemar'iui' If. — Pour montrer que deux systèmes sont équivalents, il suffit d'établir qu'ils ont même résultante générale et même moment résultant en un point particulier de l'espace. La seconde partie de la démonstration précédente prouve que les systèmes sont alors équivalents et la première partie prouve ({u'ils ont même moment résultant en tout point de l'espace. Ce dernier fait est aussi une conséquence des formules du paragraphe 8 qui expriment les composantes du moment résultant en un point quelconque à l'aide des composantes de la résultante générale et du moment résultant en un point particulier •■hoisi comme origine des coordonnées.

85. Systèmes équivalents à une force unique. — Tout système de forces est équivalent à deux forces; cherchons à quelle condition un

système (S) est équivalent à une force unique F, qu'on appelle alors la résultante du système. OR et OG sont les mêmes pour (S) et pour le système formé par la force unique F; or, pour F, OG est perpendiculaire à F. donc ù OR. Ainsi, si (S) est équivalent à une force unique, la

STATlnlK

résultanle générale et le monieiil résullant on un point quelconque 0 sont rectangulaires.

Héciproquement. supposons que OK et OG soient rcclangulaircs pour un point déterminé 0. Dans le plan P, perpendiculaire en U,

à UCi, plaçons une force V égale h

OK, dont la ligne d'a(;tion est à une distance OA du point 0 telle que ( ).\ X un = OG. Sur la droite OK, menée, dans le plan P, perpendiculairement à OK, il existe

deux points u ^;i distance ^ -

du point 0. Pour lun de ces deux points, le point A. le moment de V

coïncide avec le vecteur OG. Pour l'aulr»' point, le moment de F serait

opposé i\ OG. La force F est équivalente à (S) : en effet, la résultante

générale de F est le vecteur égal OK; le moment résultant de F, au

point 0, est. par construction, le vecteur OG; ces éléments sont les

mêmes pour F et pour (S), par suite F et (S) sont équivalents. Nous énoncerons donc la proposition suivante :

THÉoni:ME. — La condition nécessaire et sufjisanto pour t/u'ini système de forces soit équivalent à une force unique est que la résultnuti' ijénérale et le moment résultant soient perpendiculaires .

liemorque. — Dans lénoncé précédent, le point 0 par rai)piirt auquel on prend le moment résullant est laissé arbitraire. En effet,

si en un point déterminé Op OiR et 0,G sont rectangulaire*, le

système (S) est équivalent à une force unique, donc, en tout point 0

—y — > de l'espace. OK et OG sont rectangulaires.

Expression analytique de la condition. — Le point 0 étant l'origine

des coordonnées, les composantes de OH et OG sont X, Y, Z et L, M, N. Les deux vecteurs étant rectangulaires, leur produit scalaire doil élre nul, donc

L\-{-MV + NZ=0.

. Kéciproquement, si celte condition est remplie et si OK et OG sont, l'un et laulre, diflérents de zéro, le système est équivalent à une

force F. Appelons .r, y, c, les coordonnées d'un point quelconque de-

SYSTKMK9 DK FURCKS KQll VALKNTS SIU IN SOLIDE 43:',

s.i ligne tl'acli'in cl écrivons que le inoinenl de I', au poiiil i), est le vecleurO(i, nous aurons

yZ — :V = !.. U ee; î/Z — :V — L = 0.

;\.tZ = M, ou \ = z\ — :rA — y\ = 0.

x\' — ij\ = N; W^x\ — y\ — y — {)-

ces équations représentent trois plans r = (), V = (), W^^O ijui passent par la même droite puiscjue

et que \. Y, Z ne sont pas nuls tous les trois. Supposons en eflel que Z, par exemple, ne soit pas nul. Les deux premiers plans, dont luii est parallèle à Ox et l'autre à Oy, se coupent suivant une droite (D). Les coordonnées de tout point de (D) annulent U et V et, par suite, \\Z à cause de la dernière identité. Comme Z n'est pas nul, W est nul et tous les points de (D) appartiennent au troisième plan.

On aurait d'ailleurs pu remarquer aussi que X. Y, Z, L, M, .\ sont ici les coordonnées d'un vecteur comme il a été établi au paragraphe (i.

Si OG est nul, la condition est remplie et F coïncide avec OR. Si Oïl est nul, la condition est remplie, mais le système (S) ne peut pas être équivalent à une force unique, puisque sa résultante générale est nulle. Le système (S) est un couple.

L'expression analytique do la condition est donc