Systèmes équivalents à un couple élémentaire. — Dans un

couple élémentaire, système de deux forces opposées, F et F', la résultante générale est nulle et le moment résultant ou axe du couple est, quel que soit le point 0, égal à un vecteur lixe. Si un système (S) est équivalent à un couple élémentaire, il est donc nécessaire que sa résultante générale soit nulle.

Réciproquement, si la résultante générale est nulle, nous avons vu que le moment résultant est partout égal à un vecteur fixe. Le système

est é(|uivalent à un couple .élémentaire, car les forces F et •!> que l'on obtient dans la réduction de (S) à deux forces, ayant une somme géométrique nulle, sont opposées. On peut aussi raisonner comme au

paragraphe précédent. Clonslruisons, dans le plan P, une force F dont

le moment par rapport au point O soit égal à 0(j, et soit F' la force

opposée, d'origine 0. Le couple F, F' est équivalent à (Sj : en eiTet, la

résultante générale, égale à zéro, est la même pour le couple et pour

(S), et le moment résultant, au point 0, égal à OG, est le même.

Couples équivalenls. — Deux systèmes (S) et (S'), formant couple l'un cl l'autre, sont équivalenls lorsqu'ils ont même moment résultant c'est-à-dire même axe, et réciproijuenient. En particulier (S) et (S') peuvent être des couples élémentaires. Ainsi :

Pour que deux couples élémentaires soient équivalents, il foui et il suffit que leurs axes soient égaux.

On peut donc transporter un couple élémentaire F, F' dans son plan ou dans un plan parallèle, modifier la direction et l'intensité des forces etla grandeur du bras de levier, pourvu que l'axe du couple demeure le même : l'état du corps solide auquel il est appliqué ne sera pas changé.

Composition des couples élémentaires. — Considérons plusieurs

couples élémentaires : Fj, F|; ¥^, F^; .... Leur ensemble forme un système (S) qui est un couple, puisque sa résultante générale, somme

géométrique des forces Fj, F,', F^, F^, ..., est nulle. Le système (S)

est équivalent à un couple élémentaire d'axe OG. Cet axe est la somme

géométrique des moments OG,, OGÎ, OGj, OG4, . . . des forces de (S).

Remplaçons OG, et OGi' par leur somme 0^, qui est l'axe du couple

Fj, FJ; remplaçons OGj et OG-i par leur somme 'Og., qui est l'axe du

couple Fj, Fi, etc. On voit que OG est la somme des vecteurs

Ogr,, Og„ ... : l'axe du couple équivalent à (S), et que l'on appelle couple résultant, est donc la somme géométrique des axes des couples formant le système (S). Ainsi :

Le sxjstème formé par plusieurs couples élémentaires est équivalent à un couple élémentaire unique dont l'axe est la somme géométrique des axes de ces couples.

87. Réduction d'un système de forces à une force et à un couple. Soient OR et OG la résultante générale et le moment résultant au point () d'un système (S). Considérons le vecteur OR. comme une force R, et soit F, F' un couple d'axe OG. Le système (S) est équivalent au système formé par la force R et par le couple F, F'. En effet, ces deux systèmes ont même résultante générale OR, puisque F + F'^0,

SYSTÈMES l)K KOUCES ÉQUIVALENTS SUll IN SOLIDE 437

et ils ont mèm(î moment résullanl au point 0, puisque l'axe du couple

est OG et le moment de II est nul. Donc :

Un système de forces est équivaleul à uif stjstcme fonnr par une /orcn et un coiiplr.

11 peut arriver que la force suit nulle : le système équivaut à un couple élémentaire; ou que l'axe du couple soit nul : le système admet une résultante unique. Dans le premier cas la force est nulle quelle que soit la position de O; dans le second cas, l'axe n'est pas toujours nul, il est seulement perpendiculaire à la force.

88. Applications. — Appliquons les résultats précédents à l'étude des ditlérenls cas de réduclion d'un système de forces (S) agissant sur un solide; désignons par H et G les grandeurs de la résultante générale OU et du moment résultant OG ii l'origine 0 des- coordonnées :