LX - M Y — X Y = 0 ) R ^ 0 G 3= 0 un couple élémentaire

( R = 0 G=:0 équilibre.

Cas particuliers. — 1** Supposons que les forces soient toutes situées dans un plan P, comme il arrive fréquemment dans les pièces de construction, pièces qui ont un plan de symétrie dans lequel

agissent les forces. Tous les vecteurs OG,, OG^, . . ., 0G„ sont perpen-

diculaires à P, donc OG est perpendiculaire à P et, par suite, à OR qui est situé dans ce plan. Donc si R = 0, le système a une résultante; si R = 0, G 7^ 0, le système équivaut à un couple ; si R = G = U, il y a équilibre.

Remarque. — Prenons le plan P comme plan des xy; on aura Z =0, L = M=Oet, par suite. LX -i- MY -f- NZ =0. Si R = s >^''--^'' = 0.

438 STATIQIE

le syslt'inc éi|iiivaul à la force F portée pur la droite

.rV — î/X = N,

dont on obtient l'équation en écrivant que le moment à l'origine de la

force F appliquée en {x, y) est mesuré par N, sur l'axe O:.

!2" Supposons que les forces soient concourantes; on peut les remplacer par leur somme géométrique appliquée à leur point de

concours O. Nous sommes ici dans le cas oii OG est nul.

3° Supposons que les forces soient parallèles à une direction A, les -moments (Kî,, OG^, . . ., OG,, sont dans le plan normal à A mené par

0. il en est de même de OG; donc OG est perpendiculaire à Oli, qui a la direction A. Si R=è:0, le système a une résultante; si R = 0, le système équivaut à un couple ou est en équilibre.

Dans le chapitre suivant, nous nous occuperons d'une manière particulière du cas d'un système de forces parallèles.

CHAlMTIIi: IV FORCES PARALLÈLES. CENTRES DE GRAVITÉ

89. Réduction dun système de forces parallèles. — Les systèmes de forces paiallrles otlVenl un inlérêl particulier parce qu'un de ces systèmes est très important : le système dû à la pesanteur, qui agit sur tous les corps à la surface de la terre. En un même lieu, les poids des points matériels qui constituent un corps sont des forces parallèles.

.Nous avons vu au paragraphe précédent qu'un tel système a une résultante unique lorsque la résultante générale n'est pas nulle, c'est-à-dire lorsque la somme des intensités des forces qui tirent dans un sens n'est pas égale à la somme des intensités des forces qui tirent en sens contraire. Dans le cas où ces deux sommes sont égales, le système équivaut à un couple élémentaire. Si l'axe de ce couple est nul, le système est en équilibre.

Retrouvons ces résultats par le calcul : soient a, [i, v les paramètres directeurs d'un axe A parallèle à la direction des forces; P,, I'.^, . . ., l*„, les nombres qui mesurent les forces sur l'axe A ; a\, ij^, /,: x.,. ij.,, :.,, . . ., -'.1' Un- -.1' les coordonnées des points d'application. Les coordonnées de la force qui a le numéro i sont

\,=:aP,, V=[iP,. /, = vP,.

Les ccMuposantes de la résultante générale sont

Z=1Z =:yïP,.

Les composantes du moment résultant à l'origine sont

M = ï M, = aï P,:, — v^ P.ar., N = ï N, = Sï P,.r. — aï P,i/,.

Un vérifie immédiatemeul que L\ -•- MV h- NZ =0. Supposons que P^ IP, ne soit pas nul. Le système admet une résultante unique : si l'on désigne par .r, 7, : les coordonnées d'un point de celle résultante, on a vu au paragraphe 85 que

VZ — :Y = L, :X — ./ Z = M , rV — 'A = N .

ou, pour la première équation,

y Y p : 3 p = .; V p, ,/, Si: P,:,-, c'est-à-dire

V ( P.v — :l p,»/;) = p (P: — ï p,:,) . ou encore

Py — :^ P,)/. Pc — XP,3, P ~ ï ■

Les trois équations nous donnent donc

Pa- — S PjX; Py — ^P,?/. Ps — S P,:, - p - V

Posons

Les équations de la ligne d'action de la résullanle deviennent

ce sont les équations d'une droite parallèle à l'axe A et passant par le point G de coordonnées :, r,, ^.

Supposons mai'iilenanl que

Le système est équivalent à un couple dont l'axe a pour composantes vZ Piy, — 3i: P,:,. y.X P : — /i: P.a-,, fJÏ P,j-, — aX P.j/,.

Il V a équilibre lorsque ces composantes sont nulles, cest-à-dire lorsque

Pour que l'équilibre ait lie\i quelle que soit la direction des forces, l'intensité et le point d'application de chacune d'elles demeurant invariables, il faut que les composantes de l'axe du couple soient nulles quelles que soient les valeurs de a, [î, y, ce qui exige que i:P,r^=:XP,|/, = i:Pi:. = 0.