EXERCICES SIR LE LIVRE III

7. — L"ne placjuo roolangulaire ABCD, homogène el de poids P, est mobile autour du cc>té AB, supposé hori/onlal, dont les extrémités A el B sont des points fixes. Une tigf »>E. de poids négligeable, a une extrémité () lixée dans le plan horizontal de Ali, à égale distance de A €l de B. Elle s'appuie, par l'autre extrémité E, sur la plaque, en un point du bord CD. La distance du point 0 à AB est le double de la longueur du côté BC. Dans la position d'équilibre, le plan de la plaque fait un angle dé 60° avec le plan horizontal.

Calculer la pression de la lige sur la plaque et les composantes normales à AB des réactions des points tixes \ et B.

8. — Une sphère homogène, de rayon H, de poids P, s'appuie sur un plan incliné parfaitement poli faisant l'angle a avec un plan horizontal. Elle est retenue par un fil inextensil)le de longueur 3R attaché en un point A de sa surface et dont l'autre extrémité est un point fixe B situé à une distance 3R du plan. Le point B et la sphère sont au-dessus du plan.

Trouver la position d'équilibre, la tension du fil et la réaction du plan. L'équilibre est-il toujours possible dans les conditions de l'énoncé?

9. — Une sphère homogène, de poids P, est placée sur un cadre ayant la forme d'un triangle équilaléral invarial)le ABC formé par trois tiges rigides, de manière que les cùtés de ce cadre soient tangents à la sphère. Le rayon de la sphère est égal au rayon du cercle circonscrit au triangle.

l*" Le triangle étant maintenu horizontal, calculer les réactions aux points de contact de la sphère et des ci'ités.

2° Le côté BC restant horizontal, on fait tourner le plan du triangle autour de BC, pour l'amener dans une position oii ce plan fait l'angle a avec le plan horizontal. Pour quelles valeurs de a la sphère abandonne-t-elle le triangle?

Pn admettra que les frottements sont négligeables.

10. — Une tablv, de poids P, repose sur un plan horizontal fixe (II). Cette table, dont la partie supérieure a la forme d'un cercle (P), est munie de trois pieds égaux dont les extrémités inférieures, réduites à des points, sont les projections, sur le plan (II), des sommets d'un triangle ABC inscrit dans le cercle (F). La table est reliée à un point fixe 0 par un iil tlexible, inextensible el de poids négligeable, attaché au sommet A. On suppose la table dans une position telle que le fil soit tendu.

Démontrer qu'on peut, sans détruire l'équilibre de la table, faire

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agir sur elle une forre liorizonlale () apitliqut-o on un point M de la circonférence (T), distinct de A. Dcloriuiner le point M, lu direction et le sens de la force Q. Déterminer rintcnsilé de la force Q à partir de laquelle la table cesse d'être en équilibre.

Un désignera par a l'angle du lil M) avec la verticale; on supposera le point 0 plus élevé que le point A. On su|)posera de plus (^ue le centre de gravité de la table, qui n'est pas homogène, est sur la verticale du centre de gravité du triangle ABC. Enfin, on négligera les frottements.

11. — Une canne homogène est constituée par un bec en forme de demi-circonférence .\B suivi d'un bâton rectiligne BC tangent en B à la circonférence; la longueur de HC est égale à huit fois celle du diamètre de AB.

Ou place cette canne au bord d'une table de manière que l'e.Klrémité A seule touche la table en un point de la face supérieure supposée horizontale.

Déterminer la valeur d'une ligne trigonométrique de l'angle que la direction de BC fait avec la verticale lorsque l'équilibre est établi.

1-2. — Un considère une coupe hémisphérique homogène de rayon 11, d'épaisseur négligeable, de poids P.

1° Démontrer que le centre de gravité G de la coupe est au tuilieu du rayon OC perpendiculaire au plan du cercle V qui sert de bord à la coupe.

2" Eu un point A du cercle V, bord de lu coupe, on fixe une petite masse additionnelle de poids p, qu'on suppose réduite à un point. Déterminer le centre de gravité G^ de la coupe ainsi surchargée.

3" On pose la coupe, pourvue de la masse additionnelle A, sur un plan horizontal poli. L'équilibre étant établi, le plan du cercle V fait un angle 0 avec le plan horizontal. Déterminer 0, connaissant p et P.

Étudier les cas particuliers suivants :

13. — Un compas est composé de deux branches égales OA, OB, articulées eu 0 sur un pivot. On le place, le sommet en bas, entre deux clous situés, dans un mur vertical, sur une même horizontale, à une distance égale à la moitié de la longueur des branches, les clous to.uchant les branches en leurs milieux. Une petite baguette AB, de masse négligeable, est placée entre les pointes .\ et B pour empêcher le compas de se fermer. Calculer les réactions des clous et de la baguette. On néglige les frottements.

MATH. GKNÈRALE*. — II. ""

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Même question en plaçant le compas, le sommet vn liant, les clous entre les branches, et les pointes A et B étant réunies par un til inextensible et de masse négligeable.

14. — Un disque circulaire homogène, de rayon K, est suspendu à un clou C enfoncé dans un mur, par un lit inextensible et de masse négligeable, de longueur 2R, lixé à un point du bord du disque; un second disque circulaire homogène de même matière, de rayon 2R, est suspendu au même clou C par un fil semblable au premier, de longueur R, fixé à un point du bord. Le plan de chacun des disques est confondu avec celui du mur vertical.

Déterminer les angles que font les directions des fils de suspension avec la verticale du point C, lorsque le système est en équilibre.

15. — Un disque elliptique homogène est placé verticalement sur un clou rugueux horizontal, le plan du disque étant perpendiculaire au clou. Le coefficient de frottement est f. Trouver la limite que ne doit pas dépasser l'excentricité e de l'ellipse pour que le disque suit en équilibre quel que soit le point de l'ellipse choisi comme point de contact.